Радиус, интервал сходимости степенного ряда. Способы нахождения радиуса сходимости.

Теорема.

Если ряд сходится не при всех значениях х и не только при х=0, то существует число R>0 такое, что ряд абсолютно сходится при |х|<R и расходится при |x|>R.

Док-во:

Обозначим через Х множество точек х, в которых сходится. Покажем, что множество Х ограничено. Действительно, если взять точку х₁, в которой ряд расходится (по условию такие точки существуют), то по теореме Абеля (Если степенной ряд a₀+a₁x+a₂x²+… сходится в точке x₀¹0, то он сходится, причем абсолютно, при всех таких х, что |х|,|х₀|) для любого х из Х выполняется неравенство |x|,|x₁|. Известно, что у ограниченного сверху множества существует точная верхняя грань. Положим . Так как ряд сходится не только при х=0, то R>0.

Возьмем теперь любое х, для которого |x|<R. Согласно свойству точной верхней грани найдется х₀ÎХ такое, что |x|<|x₀|£R, откуда по теореме Абеля следует абсолютная сходимость ряда при взятом х.

Возьмем теперь любое х, для которого |x|>R. Такое хÏХ. Следовательно, при этом х ряд расходится.

Интервал (-R;R) называется интервалом сходимости. Число R называется интервалом сходимости. Если х₀- центр степенного ряда, то интервалом сходимости будет являться промежуток (х₀-R;х₀+R). Если интервал сходимости охватывает всю числовую прямую, то пишут R=¥, если вырождается в одну точку, то пишут R=0.

Теорема о равномерной сходимости степенного ряда, следствия из нее.

Теорема.

Степенной ряд a₀+a₁x+a₂x²+… сходится равномерно на любом отрезке [-b;b], полностью лежащем внутри интервала сходимости.

Док-во:

Выберем х₀ b<x₀<R => в точке х₀ ряд сходится абсолютно => |a₀|+|a₁x₀|+|a₂x₀²|+…

Для любого х принадлежащего промежутку [-b;b] |x|<|x₀|;

- элементы сходящегося числового ряда => ряд мажорируем в [-b;b].

 

Ряд Тейлора. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора.

Ряд Тейлора:

Теорема.

Если функция f(x) в интервале (x₀-R, x₀+R) дифференцируема любое число раз и все производные ограничены одним и тем же числом М:

|f⁽ⁿ⁾(x)|£M для любого х, то функция разложима на этом интервале в ряд Тейлора.

=> ряд сходится.

 

 

Ряд Маклорена для некоторых элементарных функций.

Ряд Маклорена для функции f(x):

 

1. f(x)=e^x

f’(x)=f”(x)=…=f⁽ⁿ⁾(x)=e^x

при х=0 получаем f’(0)=f”(0)=…=f⁽ⁿ⁾(0)=1 => ряд Маклорена для функции e^x:

2. f(x)=sin(x)

f’(x)=cos(x)=sin(x+ ), f”(x)=-sinx=sin(),…, f⁽ⁿ⁾(x)=sin()/

при х=0 получаем f(0)=0, f’(0)=1, f”(0)=0, f’’’(0)=-1, f⁽⁴⁾(0)=0 => ряд Маклорена для функции sin(x):

3. f(x)=cos(x)

Почленно дифференцируем ряд для sin(x)

откуда

 

Приложения степенных рядов.

Ряд вида , где х₀- центр ряда, а₀,а₁,…- коэффициенты степенного ряда, называется степенным рядом.

 

Степенные ряды с комплексными членами. Круг сходимости.

Ряд вида , где z - комплекснаяпеременная, a_n и z₀ – комплексные числа, называется степенным рядом с комплексными переменными.

|z-z₀|<R

Окружность радиусом R, где R – радиус сходимости, называется кругом сходимости.

 

 

44. Скалярное произведение в пространстве . Ортогональная система функций. Доказательство ортогональности тригонометрической системы функций на .

C[a,b] – множество всех функций, непрерывных на отрезке [a;b].

Скалярное произведение:

1. (x;y)=(y;x)
2. (x+y,z)=(x,z)+(y,z)
3. (ax,y)=a(x,y)
4. (x,x)³0; (x,x)=0 => x=0

Тригонометрический ряд Фурье. Вывод формул для коэффициентов Фурье. Теорема Дирихле.

Тригонометрический ряд Фурье:

a_0,a₁,b₁,a₂,b₂,…,a_n,b_n,… – коэффициенты тригонометрического ряда.

Теорема Дирихле.

Если f(x) – кусочногладкая функция, определенная (-p;p), то ее ряд Фурье сходится к функции f(x) во всех точках, где она непрерывна. В точке разрыва функции f(x) сумма ряда равна , в точке ±p сумма ряда равна .

Функция называется гладкой на интервале (a,b) если f и f’ непрерывна (a,b).

Замечание: Если f(-p)=f(p) и f(x)-гладкая на (-p;p), то сумма ряда Фурье – непрерывная ф-ия на (-¥;¥).

 

46. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. Разложение в ряд Фурье на отрезке .

1. Если f(x) – четная, определенная на (-p;p)

f(x)*sin nx – нечетная, b_n=0; f(x)*cos nx – четная, ;

2. Если f(x) – нечетная

f(x)*cos nx – нечетная, а_n=0; f(x)*sin nx – четная,

 

 

Пусть f(x) заданы на (-l;l)

Функции многих переменных

47. Понятие функции многих переменных, область определения, график (n =2).

Функцией 2-х переменных, определенной на мн-ве DcR², называется закон сопоставляющий каждой точке с координатами некоторое число

Множество совокупностей значение переменной называют областью определения ф-ции.

Геометрической интерпретацией функции двух переменных f(x,y) служит поверхность z=f(x,y), которую называют графиком этой функции. Например, если , то графиком является параболоид вращения