Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Первый признак сравнения. Если даны два ряда и , общие члены которых удовлетворяют соотношению , то из сходимости второго ряда следует сходимость первого ряда и из расходимости первого ряда следует расходимость второго ряда.

Второй (предельный) признак сравнения. Если даны два ряда и и существует конечный предел , отличный от нуля, то оба ряда сходятся и расходятся одновременно.

В качестве эталонного ряда часто берут ряд Дирихле , который сходится при a>1, и расходится при a£1.

Пример 4.2. Исследовать на сходимость следующий числовой ряд:

Решение. Рассмотрим ряд, полученный из старших членов числителя и знаменателя . Это будет ряд Дирихле с , который расходится. Применим предельный признак сравнения:

.

Поскольку эталонный ряд расходится, то и сравниваемый ряд также расходится.

Признак Даламбера. Пусть дан ряд и существует предел . Тогда если r>1, то ряд расходится, если r<1, то ряд сходится, если r=1, то ряд может сходиться и расходиться, т.е. требуется применить другой признак сходимости.

Отметим, что, как правило, признак Даламбера применяется для рядов, содержащих факториалы. Факториалом называется выражение .

Пример 4.3. Исследовать на сходимость следующий числовой ряд:

Решение. Применим к данному ряду признак Даламбера. Поскольку

, ,

.

Таким образом, исходный ряд является сходящимся.

Радикальный признак Коши. Пусть дан ряд и существует предел , тогда если r>1, то ряд расходится, если r<1, то ряд сходится, если r=1, то ряд может сходиться и расходиться, т.е. требуется применить другой признак сходимости.

Пример 4.4. Исследовать на сходимость следующий числовой ряд:

.

Решение. Применим к данному ряду признак Коши. Используя второй замечательный предел, получим

.

Следовательно, исходный ряд является сходящимся.

Признак Лейбница сходимости знакопеременных рядов. Если члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям: 1) , 2) , то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена , т.е. .

Пример 4.5. Исследовать на сходимость числовой ряд:

.

Решение. Применим признак Лейбница. Для данного ряда

и выполняется условие , т.к. при больших n члены ряда a_n ведут себя как 2/ n. Следовательно, исходный ряд является сходящимся.

Отметим, что соответствующий знакоположительный ряд

является расходящимся (его можно сравнить с расходящимся гармоническим рядом ). Такие ряды называются условно сходящимися.

Степенные ряды

Степенным рядом называется следующее выражение

(4.2)

Областью сходимости степенного ряда называется такие значения x, при которых получающиеся числовые ряды будут сходящимися. Для степенного ряда область сходимости будет иметь следующий вид

,

где R – радиус сходимости степенного ряда, который можно найти по одной из формул:

, . (4.3)

Пример 4.6. Найти радиус и интервал сходимости следующего степенного ряда, а также исследовать его на сходимость на концах интервала:

.

Решение. Найдем радиус сходимости степенного ряда:

.

Тогда область сходимости будет иметь вид (x ₀– R, x ₀+ R), т.к. в нашем случае x ₀=–7, то область сходимости будет иметь вид (–16; 2).

Исследуем теперь сходимость ряда на границах области сходимости, т.е. в точках
x =–16 и x =2. При x =–16 получается следующий числовой ряд

,

который сходится по признаку Лейбница. При x =2 получается числовой ряд

,

который является расходящимся, т.к. его можно сравнить с расходящимся гармоническим рядом . Итак, область сходимости исходного степенного ряда будет иметь окончательно следующий вид [–16; 2).

Если функция бесконечно число раз дифференцируема в окрестности точки x ₀, то её можно разложить в ряд Тейлора:

(4.4)

Пример 4.7. Разложите данную функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x ₀ (выпишете первых три ненулевых члена ряда):

.

Решение. Находим:

,	;		,	;
,	;		,	.

Таким образом, первых три ненулевых члена ряда Тейлора исходной функции будут иметь следующий вид

Ряд Тейлора в окрестности точки x ₀=0 называется рядом Маклорена:

(4.5)