Программа курса «Высшая математика»

Для экономических специальностей, раздел «Математический анализ»

Введение в математический анализ

1. Понятие функции одной переменной. Способы задания функции. Многозначные и однозначные функции. Область определения функции. Четные и нечетные, периодические и непериодические функции. Сложная функция. Композиция функций. Обратная функция.

2. Основные элементарные функции и их графики. Построение графиков элементарных функции при помощи линейных преобразований системы координат.

3. Понятие функции многих переменных. n -мерное координатное пространство. Область определения функции многих переменных.

4. Числовые последовательности. Способы их задания. Ограниченные и неограниченные последовательности. Монотонно возрастающие и убывающие последовательности. Предел числовой последовательности. Свойства пределов.

5. Предел функции в точке. Определение. Предел функции в бесконечно удаленной точке. Геометрический смысл этого предела.

6. Бесконечно большие и бесконечно малые величины. Взаимосвязь этих величин и их свойства. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные бесконечно малые величины и их применение для вычисления пределов.

7. Раскрытие неопределенностей вида , , .

8. Первый и второй замечательные пределы и их следствия.

9. Непрерывность функции одной переменной. Свойства непрерывных функций.

10. Односторонние пределы. Классификация точек разрыва.

Дифференциальное исчисление

1. Производная функции одной переменной. Физический и геометрический смысл производной. Эластичность и ее свойства.

2. Производные основных элементарных функций. Основные правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функции. Логарифмическое дифференцирование.

3. Производная функции многих переменных. Частные производные.

4. Производные высших порядков функций одной и нескольких переменных.

5. Производные сложных функций многих переменных.

6. Производные функций, заданных неявно параметрически.

7. Теоремы о среднем: Ролля, Лагранжа, Коши.

8. Дифференциал функции одной переменной. Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции нескольких переменных. Свойства дифференциалов. Применение дифференциала для приближенных вычислений и оценки погрешности вычислений. Дифференцируемость функций. Дифференциалы высших порядков.

9. Правило Лопиталя.

10. Необходимое условие экстремума функции. Необходимые и достаточные условия монотонности функции. Достаточные условия экстремума функции.

11. Наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке.

12. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условия существования точек перегиба. Асимптоты функции. Вертикальные и наклонные асимптоты и способы их нахождения. Общая схема исследования функции и построения её графика.

Интегральное исчисление

1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов

2. Метод замены переменной и метод подведения под знак дифференциала вычисления неопределенных интегралов.

3. Метод интегрирования по частям вычисления неопределенных интегралов.

4. Алгебра многочленов. Основная теорема алгебры. Теорема Безу. Разложение многочлена на линейные и квадратные множители.

5. Разложение рациональных дробей на сумму простейших дробей. Метод неопределенных коэффициентов.

6. Интегрирование дробно-рациональных функций. Интегрирование простейших дробей 1-го, 2-го и 3-го типа. Интегрирование простейших выражений, содержащих квадратный трехчлен.

7. Интегрирование в тригонометрических выражений вида R(sin x,cos x). Универсальная подстановка. Интегрирование тригонометрических выражений вида cos ^mx sin ⁿx.

8. Интегральные суммы. Определение определенного интеграла. Физический, геометрический и экономический смысл определенного интеграла. Свойства определенных интегралов.

9. Формула Ньютона-Лейбница и её применение для вычисления определённых интегралов. Метод замены переменной в определенном интеграле. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле.

10. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.

11. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода.

Ряды

1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости рядов. Свойства сходящихся рядов.

2. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости знакоположительных рядов: признаки сравнения, признаки Даламбера и Коши, интегральный признак.

3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Теорема Лейбница для знакочередующихся числовых рядов.

4. Функциональные ряды. Область сходимости, методы её определения. Равномерная сходимость. Свойства равномерно сходящихся рядов.

5. Степенные ряды. Терема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.

6. Разложение функций в степенные ряды. Формула Тейлора.

7. Формула Маклорена. Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена.

8. Применение степенных рядов в приближённых вычислениях.

 

 

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

Функции

Функция является основным объектом исследования в математическом анализе. Поэтому рекомендуем более глубоко ознакомиться с этим понятием, например, обратиться к литературе, приведенной в конце методических указаний.

При построении графика воспользуемся следующими правилами. Пусть известен график функции y = f (x), тогда график функции:

1.	y 1= f (– x)	есть зеркальное отражение относительно оси Oy,
2.	y 2=– f (x)	есть зеркальное отражение относительно оси Ox,
3.	y 3= f (x–a)	есть смещение вдоль оси Ox на величину a,
4.	y 4= f (x)+ b	есть смещение вдоль оси Oy на величину b,
5.	y 5= f (ax)	есть сжатие (a>1) или растяжение (a<1) вдоль оси Ox в a раз,
6.	y 6= bf (x)	есть растяжение (b>1) или сжатие (b<1) вдоль оси Oy в b раз.

Отметим, что вместо смещения графиков вдоль координатных осей можно смещать сами оси координат, но только в противоположную сторону.

Пример 1.1. Используя элементарные преобразования графиков, построить график функции y = 1–2cos3 x.

Решение. График исходной функции можно построить в четыре этапа:

1) строим график синусоиды y ₁=cos x;

2) сжимаем график в 3 раза вдоль оси Ox: y ₂=cos3 x;

3) увеличиваем амплитуду синусоиды в 2 раза и переворачиваем график вокруг оси Ox на 180⁰: y ₃=–2cos3 x;

4) смещаем график y ₃ на 1 ед. вверх или опускаем ось Ox на 1 ед. вниз, в результате получим с графиком исходной функции y.

Пределы

Понятие предела является одним из фундаментальных понятий математики. Для более глубокого ознакомления с этим понятием мы рекомендуем обратиться к литературе, приведенной в конце методических указаний.

Пусть функция y=f (x) определена в некоторой окрестности точки a. Число A называется пределом функции f (x) при x ® a, если для любого сколь угодно малого e>0 существует такое d>0, что для всех x, удовлетворяющих неравенству | x–a |<d, имеет место неравенство | f (x)– A |<e. Обозначается

.

Аналогичные определения можно дать, когда a или A равны нулю или бесконечности.

Функция a(x) называется бесконечно малой в окрестности точки a, если

.

Функция A (x) называется бесконечно большой в окрестности точки a, если

.