Схема исследования графика функции

I. а) Найти область определения функции.

б) Установить чётность, нечётность, периодичность функции.

в) Определить точки пересечения графика функции с осями координат.

г) Определить интервалы непрерывности функции и найти точки разрыва.

II. Определить интервалы монотонности графика функции и найти точки экстремума.

III. Определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и найти точки перегиба.

IV. Найти асимптоты графика функции.

V. Построить график функции.

Пример 2.9. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить ее график:

.

Решение. I. а) Данная функция имеет смысл при всех значениях x, кроме точки x =1, т.е. область определения данной функции

.

Заметим также, что функция может принимать только неотрицательные значения, т.е. y ³0.

б) Данная функция является ни четной, ни нечетной, ни периодической, т.е. это функция общего вида.

в) При x =–1 функция будет равна нулю: y (–1)=0, т.е. график функции пересекает ось Ox в точке A (–1;0). При x =0 функция принимает значение y (0)=1, т.е. график функции пересекает ось Oy в точке B (0; 1).

г) Точка x =1 является точкой разрыва 2-го рода, причем

.

Следовательно, прямая x =1 является вертикальной асимптотой данной функции.

II. Исследуем функцию на экстремум и определим участки ее монотонности. Для этого вычислим производную:

Определим критические точки функции, т.е. точки в которых производная равна нулю или не существует. Это будут точки x ₁=–1, x ₂=1. Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак производной на каждом из полученных интервалов. Поскольку при переходе через критическую точку x =–1 производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке имеется минимум: y(–1)=0. В точке x =1 производная также меняет знак, однако в этой точке нет экстремума, т.к. эта точка является точкой разрыва. На интервалах (–¥; –1) и (1;+¥) функция убывает, на интервале (–1; 1) – возрастает.

III. Исследуем функцию на выпуклость и вогнутость. Для этого вычислим производную второго порядка:

Определим критические точки 2-го порядка, т.е. точки в которых вторая производная равна нулю или не существует. Это будут точки x ₁=–2, x ₂=1. Нанесем эти точки на числовую ось и определим знак второй производной на каждом из полученных интервалов. Поскольку при переходе через критическую точку
x =–2 вторая производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке имеется точка перегиба: y(–2)=1/9, т.е. точка P (1/9,–2). На интервале (–¥; –2) функция выпукла, на интервале (–2; +¥) – вогнута.

IV. Найдем уравнение наклонной асимптоты y=kx+b, где

, .

Таким образом, рассматриваемая функция имеет горизонтальную асимптоту, уравнение которой y =1.

V. Строим график функции. Построение начинаем с изображения асимптот, а также наносим точки экстремума, точки перегиба и точки пересечения с осями координат (см. рис.).

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Неопределенные интегралы

Понятие интеграла, наряду с производной, является одним из основных в математическом анализе. Он играет большую роль в приложениях. Поэтому стоит более глубоко ознакомится с этим понятием по приведенной литературе.

Функция F (x) называется первообразной функции f (x) на (a, b), если для любого . Если F ₁(x) и F ₂(x) две первообразные функции f (x), то , т.е. любые две первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга на постоянную величину.

Совокупность всех первообразных функции f (x) называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом , т.е.

. (3.1)

В этом равенстве f (x) называется подынтегральной функцией, а f (x) dx – подынтегральным выражением.

Свойства неопределенных интегралов

1. ,	4. ,
2. ,	5. .
3. ,

Таблица простейших интегралов

1. ,	3. ,
2. , a ¹1,	4. ,
2а. ,	4а. ,
2б. ,	5. ,
2в. ,	6. ,

 

7. ,	11. ,
8. ,	12. ,
9. ,	13. ,
10. ,	14. .

Пример 3.1. Вычислить неопределенные интегралы:

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

Решение. а) Используя свойства 3 и 4, получим

.

Далее, используя из таблицы интегралов формулы 2 и 4, находим

, .

Тогда

.

б) Используя свойство 5 и формулу 5, получим

.

в) Здесь используем формулу 3 с учётом свойства 5:

.

г) Запишем подынтегральную функцию следующим образом:

.

Тогда, с чётом формулы 12 и свойства 5, получаем

.

Метод замены переменной. Положим x =j(t), где j(t) – дифференцируемая функция. Учтём, что дифференциал вычисляется по формуле

.

Тогда справедлива следующая формула

. (3.2)

Пример 3.2. Вычислить неопределенные интегралы, используя метод замены переменной:

а) б) .

Решение. а) При вычислении первого интеграла сделаем подстановку t =5–9ln x, в результате получим

.

б) При вычислении второго интеграла сделаем подстановку t =5+4 x ¹⁰, в результате получим

.

Метод интегрирования по частям. Если u (x) и v (x) – дифференцируемые функции, то справедлива формула

. (3.3)

Данную формулу интегрирования применяют обычно в тех случаях, когда функция u (x) упрощается при дифференцировании, а первообразная для функции v (x) легко находится.

Пример 3.3. Вычислить неопределенные интегралы, используя метод замены переменной:

а) б) .

Решение. а) При вычислении первого интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям:

.

б) При вычислении второго интеграла также воспользуемся формулой интегрирования по частям. В результате получим

.

Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью) называется выражение

.

Если n ³ m, дробь называется неправильной. Если n < m, дробь называется правильной. Любую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы целой части (т.е. многочлена) и правильной дроби.

Пример 3.4. Вычислить интеграл:

.

Решение. Выделим целую и дробную части рациональной дроби, для этого разделим столбиком два многочлена (числитель на знаменатель):

–		x +2
–
–
–

В результате получаем

.

Любую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей вида:

I. ,	III. ,
II. ,	IV. .

Чтобы правильную рациональную дробь представить в виде суммы простейших дробей, нужно сначала знаменатель разложить линейные и квадратичные множители вида (x+a) и . В зависимости от полученных множителей получается соответствующее разложение на сумму простейших дробей. Рассмотрим этот метод на конкретном примере.

Пример 3.5. Вычислить интеграл:

.

Решение. Разложим подынтегральную функцию, т.е. правильную рациональную дробь, на сумму простейших дробей:

.

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители левой и правой частей:

.

Чтобы найти неопределенные коэффициенты A, B, C, придадим переменной x три каких-либо значения (обычно выбирают такие значения, чтобы получались нулевые значения в правой части):

Таким образом,

.

Далее вычисляем исходный интеграл как сумму интегралов от простейших дробей:

.

При вычислении интегралов вида

,

следует преобразовать подынтегральную функцию, используя различные тригонометрические формулы.

Если хотя бы одно из чисел m или n – нечётное положительное, то применяют подстановку cos x = t, если n – нечётное и sin x=t, если m – нечётное. При этом используется основное тригонометрическое тождество:

. (3.4)

Пример 3.6. Вычислить интеграл:

.

Решение. Применяем подстановку sin x=t, cos xdx=dt:

.

Если m или n – чётные положительные числа, то применяются тригонометрические формулы понижения степени:

. (3.5)

Пример 3.7. Вычислить интеграл:

.

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение следующим образом

.

Если m + n – чётное отрицательное число, то применяют подстановку или .

Пример 3.8. Вычислить интеграл:

.

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение следующим образом

.

При вычислении интегралов вида

,

следует преобразовать подынтегральную функцию, используя следующие тригонометрические формулы:

, . (3.6)

Пример 3.9. Вычислить интеграл:

.

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение следующим образом

.

Определенные интегралы

Пусть функция f (x) определена на отрезке [ a,b ]. Этот отрезок разделим на n произвольных, необязательно равных, частей:

a=x ₀ < x ₁ <... < x_n=b.

В этом случае говорят, что произведено разбиение отрезка [ a,b ]. На каждом участке разбиения [ x_{i –1}, x_i ] возьмем произвольную точку c_i и вычислим значение функции f (x) в этих точках. Если умножить полученные значения функции f (c_i) на длину соответствующего участка D x_i = x_i – x_{i –1} и просуммировать все эти выражения, то получим сумму

, (3.7)

которая называется интегральной суммой функции f (x) на отрезке [ a,b ]. Обозначим через D x =max D x_i.

Определение. Если предел последовательности интегральных сумм

. (3.8)

существует, т.е. конечен и не зависит от способа разбиения отрезка [ a,b ] и от выбора точек c_i на соответствующих участках, то этот предел называется определенным интегралом функции f(x) на отрезке [ a,b ] и обозначается

. (3.9)

Здесь число a называется нижним пределом, число b называется верхним пределом интеграла.

Функция f (x) называется интегрируемой на отрезке [ a,b ], если для этой функции на указанном отрезке существует предел интегральных сумм, т.е. определенный интеграл. Необходимое условие интегрируемости: если функция f (x) интегрируема на отрезке [ a,b ], то она ограничена на этом отрезке. Достаточное условие интегрируемости: если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a,b ], или имеет конечное число точек разрыва 1-го рода, то она интегрируема на этом отрезке.