Производные функции одной переменной

Понятие производной является одной из основным математическом анализе, играющим большую роль и в экономических исследованиях. Поэтому стоит более глубоко ознакомится с этим понятием, например, по литературе, приведенной в конце методических указаний.

Производной функции y = f (x) в точке x ₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится нулю:

. (2.1)

Производная функции имеет несколько обозначений: , , . Иногда в обозначении производной используется индекс, указывающий, по какой переменной взята производная, например, . Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Основные правила дифференцирования

1. ,	4. ,
2. ,	5. ,
3. ,	6. ,

Таблица производных простейших элементарных функций

1. ,	5. ,
2. ,	6. ,
2а. ,	7. ,
2б. ,	8. ,
2в. ,	9. ,
3. ,	9а. ,
3а. ,	10. ,
4. ,	10а. .
4а. ,

Пример 2.1. Найти производные dy / dx данных функций:

а) , б) ,
в) .

Решение. а) При вычислении производной данной функции воспользуемся формулой (u^a) ' = au^{a –1} u'. Тогда производная исходной функции найдется следующим образом:

.

б) В данном случае воспользуемся правилом дифференцирования частного: . В результате получим

.

в) Используя правило дифференцирования сложной функции, получим

.

При вычислении производной сложно-показательной функции следует функцию предварительно прологарифмировать, а затем уже искать производную. Такой приём называется логарифмическим дифференцированием.

Пример 2.2. Найти производную:

.

Решение. При вычислении производной данной функции, прологарифмируем исходное выражение:

.

Теперь продифференцируем полученное выражение, учитывая, что y является функцией от x:

Отсюда

.

Если y как функция от x задаётся посредством уравнения

, (2.2)

то y называется функцией от x, заданной неявно. Производная от такой функции может быть найдена следующим образом. Находим производную по x от функции , учитывая при этом y=y (x) как функцию от x, и приравниваем её к нулю. Разрешаем полученное уравнение относительно y ¢; в результате будем иметь выражение производной от неявной функции в виде: y ¢= f (x,y).

Пример 2.3. Найти производную функции, заданной неявно:

Решение. При вычислении производной от неявно заданной функции следует продифференцировать исходное уравнение по x с учетом того, что переменная y зависит от x: y=y (x) и :

.

Сгруппируем слагаемые, содержащие y':

.

Отсюда находим

.

Пусть зависимость между x и y задана параметрически в виде двух уравнений

, (2.3)

где t – вспомогательная переменная, называемая параметром. Производная от такой функции может быть найдена по формуле:

. (2.4)

Пример 2.4. Найти производную функции, заданной параметрически:

Решение. Находим производные от функций x (t) и y (t):

.

Тогда

.