Необходимый признак сходимости.

Необходимый признак сходимости.

Если числовой ряд сх-ся, то . Обратное неверно.

Следствие

Если ,то расх-ся.

Ряд вида наз. гармоническим и он расх-ся.

Числовой ряд вида представляет собой г еометр. прогрессию. Данный числовой ряд сх-ся при и расх-ся, когда .

 

Интегральный признак Коши

Пусть члены ряда положител. и не возрастают. Рассмотрим непрерыв. убывающую ф-ю f(x), такую что f(n)=a_n.

Тогда несобственный интеграл и числ. ряд ведут себя одинаково: либо одновременно сх-ся, либо одновременно расходятся.

Ряд Дирихле – ряд вида

Ряд сх-ся при p> 1 и расх-ся при p 1.

 

 

2. Первый признак сравнения

Пусть имеется два ряда с положительными членами:

Если члены ряда (А) не больше соответствующих членов ряда (В) , 1, то из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А).

Если члены ряда (А) не меньше соответствующих членов ряда (В) 1, то из расходимости ряда (В) следует расх-мость ряда (А).

Второй признак сравнения

Пусть имеются два ряда с положительными членами и .

Если предел отношения их n -ых членов и конечен, то ряды ведут себя одинаково: либо одновременно сх-ся, либо одновременно расх-ся.

 

3. Признак сходимости Даламбера

Если у числового ряда с положительными членами сущ-ет предел отношения последующего члена ряда к предыдущему , то

1. ряд сходится, если q<1,

2. расходится, если q>1,

3. q=1 данный признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Нужно использовать др. признаки кроме радикального Коши

Радикальный признак Коши

Если у числового ряда с положит. членами существует , то:

1. ряд сходится, если q<1,

2. расходится, если q>1,

3. q=1 данный признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Нужно использовать др. признаки кроме признака Даламбера.

 

Признак Лейбница

Если члены знакочередующегося ряда , a_n 0 для 1 удовлетворяют следующим условиям:

1) a_n>a_n+1 > a_n+2>… (не возрастают)

2) ,то:

а) заданный ряд сходится условно;

б) его сумма не превосходит первого члена.

 

 

8. Степенным наз. функцион. ряд вида c_nxⁿ=c₀+c₁x+c₂x ² +…+c_nx^n.

Числа наз. коэф-ами степенного ряда. Для степ. Ряда справедлива теорема Абеля.

Теорема Абеля

Если степенной ряд сх-ся в точке x₀ 0, то он абсолютно сх-ся (абсолютно) при всех значениях x таких, что . Если степен. ряд расх-ся в некот. точке , то он расх-ся при всех значениях x таких, что .

Из теоремы Абеля следует, что существует такое число R > 0, называемое радиусом сходимости, что степенной ряд сх-ся (абсолютно) для любых x, таких что <R., и расх-ся при любых x, таких что >R. Интервалом сх-сти степенного ряда наз. область <R, а R наз. радиусом сх-сти.

9. Рядом Тейлора называют ряд: (1) Если в области сх-сти ряд (1) сх-ся к f(x), то имеет место равенство (2) называемое разложением ф-и f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки a.

Если в разложении ф-и в ряд Тейлора (2) взять a=0, то получим частный случай ряда Тейлора, называемый рядом Маклорена:

 

 

7.

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам ряд с сходится, а ряд, составленный из модулей – расходится.

 

Числовой ряд наз. знакочередующимся, если любые два его соседние члены имеют разные знаки:

 

Пусть задана бесконечная послед-ность ф-й { u_n(x) }. Функциональный ряд -сумма всех ее членов: u₁(x)+u₂(x)+…+u_n(x)+…= . Точка x₀ - точка сх-сти фун. р. , если ч.р. явл. сх-ся. Область сх-сти функцион. ряда – совок-сть всех его точек сх-сти.

 

Геометрическая вероятность

Пусть имеется пространство событий, элементарные исходы которого можно представить в виде точек, заполняющих нек. область Ω в пространстве R ³. Если при этом событию А благоприятствуют элемен-тарные события, заполняющие нек. подоб-ласть D из Ω, то геометр. вероятностью события А наз. отношение объема области D к объему области Ω:

Аналогично определяется геометр. вероят-ность события, когда множ-во Ω представ-ляет собой нек. область на плоскости или отрезок на прямой линии. В этих случаях объемы областей заменяются, соответст-но, площадями фигур или длинами отрезков.

Случайное событие – событие, которое может произойти (не произойти), если будет выполнена определённая совок-сть условий S, которая наз. испытанием.

Несколько событий наз совместными, если в результате испытания появление 1-го из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Несколько событий наз несовместными, если в результате испытания появ-ление 1-го из них исключает появление других (остальных) событий в одном и том же испытании (выпадение очков на игральной кости – 6 несовмес. событий).

2 события наз. равновозможными, если нет оснований считать, что появление одного из них более возможно, чем появление другого. (выбрасывание орла и решки - равновозможные события).

Полная группа событий – совок-сть случаных событий, если в результате испытания появится хотя бы 1 из них.

С= или – сумма событий А и В (событие, которое заключается в том, что происходит либо событие А, либо событие В, либо события и А и В).

или – произведение собы-тий (событие, которое состоит в том, что одновременно происходят события А и В).

- противоположное событию А (если эти события несовместны, а их сумма – достоверное событие)-(Промах или попадание про стрельбе по мишени)

 

 

Для решения вероятностных задач используют формулы комбинаторики:

1) число перестановок P_n из n элементов равно:

Перестановки – комбинации, которые можно составить из n эл-тов по n эл-тов в каждой, чтобы они отличались только порядком расположения этих эл-тов.

2) число размещений m элементов из равно:

Размещение – комбинации, которым можно составить из n эл-тов по m эл-тов в каждой и отличающихся друг от друга либо составом эл-тов, либо порядком расположения эл-тов.

3) число различных сочетаний m элементов из n равно

Сочетания – комбинации, которые можно составить из n эл-тов по m эл-тов в каждой и отличающихся друг от друга только составом эл-тов.

Правило суммы

Если объект А может быть извлечён из нек. совок-сти объектов m способами, а объект В может быть извлечён из совок-сти объектов n способами, то извлечь объект А и объект В (либо А, либо В) можно n+m способами

Правило произведения

Если объект А может быть извлечён из нек. совок-сти объектов m способами и для каждого способа извлечения объекта А объект В может быть извлечён n способами, то извлечь объект А, и объект В можно nm способами.

 

 

Суммой событий А и В наз. событие С = А + В, состоящее в наступлении хотя бы 1-го из этих событий.

Если А и В – несовместные, то А+В – это событие, состоящее в наступлении либо события А, либо события В.

 

Если А и В – совместные, то А+В – это события, состоящие в наступлении либо события А, либо события В, либо события АВ (и А, и В).

Биномиальное распределение

Пусть имеются n испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью р (0<p<1) или не появиться с вероятностью q (q=1-p).

Рассмотрим дискретную СВ Х – число появлений события А в испытаниях. Её возможные значения 0, 1, 2, …, n где k=1, 2, …, n. Это распределение наз. биномиальным с параметрами p и q.

Закон Пуассона

Говорят, что дискретная СВ Х распределена по закону Пуассона, если n – велико, а р – мало.

где =np – параметр распределения.

 

 

Поток событий – послед-ность событий, наступивших в случайные моменты времени. Напр., поступле-ние вызовов в скорую, на АТС, прибытие самолётов в аэропорты.

Свойства потока:

1) cв-во стационарности: вероят-ность наступления события k раз за промежуток времени t зависит лишь от k и t

2) cв-во ординарности: появление 2-ух и более событий за малый про-межуток времени почти невозможно

3) отсутствие последствий: вероят-ность появления событий k раз за промежуток времени t не зависит от того, появлялись или не появлялись события в предшествующие дан-ному промежутку времени моменты

Простейшим (пуассоновским) наз. поток событий, обладающий этими 3-мя свойствами.

Также для потока характерно такое понятие, как интенсивность () – среднее число появлений события за единицу времени. Вероятность того, что событие появится k раз за промежуток времени t будет равна:

 

 

Необходимый признак сходимости.

Если числовой ряд сх-ся, то . Обратное неверно.

Следствие

Если ,то расх-ся.

Ряд вида наз. гармоническим и он расх-ся.

Числовой ряд вида представляет собой г еометр. прогрессию. Данный числовой ряд сх-ся при и расх-ся, когда .

 

Интегральный признак Коши

Пусть члены ряда положител. и не возрастают. Рассмотрим непрерыв. убывающую ф-ю f(x), такую что f(n)=a_n.

Тогда несобственный интеграл и числ. ряд ведут себя одинаково: либо одновременно сх-ся, либо одновременно расходятся.

Ряд Дирихле – ряд вида

Ряд сх-ся при p> 1 и расх-ся при p 1.

 

 

2. Первый признак сравнения

Пусть имеется два ряда с положительными членами:

Если члены ряда (А) не больше соответствующих членов ряда (В) , 1, то из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А).

Если члены ряда (А) не меньше соответствующих членов ряда (В) 1, то из расходимости ряда (В) следует расх-мость ряда (А).

Второй признак сравнения

Пусть имеются два ряда с положительными членами и .

Если предел отношения их n -ых членов и конечен, то ряды ведут себя одинаково: либо одновременно сх-ся, либо одновременно расх-ся.

 

3. Признак сходимости Даламбера

Если у числового ряда с положительными членами сущ-ет предел отношения последующего члена ряда к предыдущему , то

1. ряд сходится, если q<1,

2. расходится, если q>1,

3. q=1 данный признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Нужно использовать др. признаки кроме радикального Коши

Радикальный признак Коши

Если у числового ряда с положит. членами существует , то:

1. ряд сходится, если q<1,

2. расходится, если q>1,

3. q=1 данный признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Нужно использовать др. признаки кроме признака Даламбера.

 

Признак Лейбница

Если члены знакочередующегося ряда , a_n 0 для 1 удовлетворяют следующим условиям:

1) a_n>a_n+1 > a_n+2>… (не возрастают)

2) ,то:

а) заданный ряд сходится условно;

б) его сумма не превосходит первого члена.

 

 

8. Степенным наз. функцион. ряд вида c_nxⁿ=c₀+c₁x+c₂x ² +…+c_nx^n.

Числа наз. коэф-ами степенного ряда. Для степ. Ряда справедлива теорема Абеля.

Теорема Абеля

Если степенной ряд сх-ся в точке x₀ 0, то он абсолютно сх-ся (абсолютно) при всех значениях x таких, что . Если степен. ряд расх-ся в некот. точке , то он расх-ся при всех значениях x таких, что .

Из теоремы Абеля следует, что существует такое число R > 0, называемое радиусом сходимости, что степенной ряд сх-ся (абсолютно) для любых x, таких что <R., и расх-ся при любых x, таких что >R. Интервалом сх-сти степенного ряда наз. область <R, а R наз. радиусом сх-сти.

9. Рядом Тейлора называют ряд: (1) Если в области сх-сти ряд (1) сх-ся к f(x), то имеет место равенство (2) называемое разложением ф-и f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки a.

Если в разложении ф-и в ряд Тейлора (2) взять a=0, то получим частный случай ряда Тейлора, называемый рядом Маклорена:

 

 

7.

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам ряд с сходится, а ряд, составленный из модулей – расходится.

 

Числовой ряд наз. знакочередующимся, если любые два его соседние члены имеют разные знаки:

 

Пусть задана бесконечная послед-ность ф-й { u_n(x) }. Функциональный ряд -сумма всех ее членов: u₁(x)+u₂(x)+…+u_n(x)+…= . Точка x₀ - точка сх-сти фун. р. , если ч.р. явл. сх-ся. Область сх-сти функцион. ряда – совок-сть всех его точек сх-сти.