Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций

1. Область сх-cти: .

2.

Область сх-сти: .

3.

Область сх-сти: .

4.

Область сх-сти: .

Пусть задана периодическая ф-я f(x) с периодом T=2 .

На отрезке[- ; ] рассм-им функц. ряд (1)

,

коэф-ты которого определены формулами: ,(2) ,(3) . (4)

Функц. ряд (1) наз. тригонометр. рядом Фурье для функции f(x) на отрезке [- ; ]. Числа a₀, a_n, b_n вычисленные по формулам (2)–(4), наз. коэф-ами Фурье для ф-и f(x).

 

Ряды Фурье для четн. и нечетн. ф-й

Пусть f(x) – четн. ф-я. Тогда

Разложение в ряд Фурье четной ф-и содержит только косинусы:

(2.36)

Пусть f(x) – нечетная функция. Тогда

Разложение в ряд Фурье нечетной ф-и содержит только синусы:

 

Классическое определение вероятности: вероятностью события А наз. отношение числа элементарных исходов (событий) m, благоприятствующих появлению события А, к общему числу n всех элементарных исхо-дов (событий), образующих полную группу попарно несовместных и равновозможных событий и записывают:

Свойства вероятности:

1.Вероятность достоверного события=1 (при m=n):

2.Вероятность невозможного события=0 (при m=0):

3.Вероятность случайного события заключена в пределах:

Геометрическая вероятность

Пусть имеется пространство событий, элементарные исходы которого можно представить в виде точек, заполняющих нек. область Ω в пространстве R ³. Если при этом событию А благоприятствуют элемен-тарные события, заполняющие нек. подоб-ласть D из Ω, то геометр. вероятностью события А наз. отношение объема области D к объему области Ω:

Аналогично определяется геометр. вероят-ность события, когда множ-во Ω представ-ляет собой нек. область на плоскости или отрезок на прямой линии. В этих случаях объемы областей заменяются, соответст-но, площадями фигур или длинами отрезков.

Случайное событие – событие, которое может произойти (не произойти), если будет выполнена определённая совок-сть условий S, которая наз. испытанием.

Несколько событий наз совместными, если в результате испытания появление 1-го из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Несколько событий наз несовместными, если в результате испытания появ-ление 1-го из них исключает появление других (остальных) событий в одном и том же испытании (выпадение очков на игральной кости – 6 несовмес. событий).

2 события наз. равновозможными, если нет оснований считать, что появление одного из них более возможно, чем появление другого. (выбрасывание орла и решки - равновозможные события).

Полная группа событий – совок-сть случаных событий, если в результате испытания появится хотя бы 1 из них.

С= или – сумма событий А и В (событие, которое заключается в том, что происходит либо событие А, либо событие В, либо события и А и В).

или – произведение собы-тий (событие, которое состоит в том, что одновременно происходят события А и В).

- противоположное событию А (если эти события несовместны, а их сумма – достоверное событие)-(Промах или попадание про стрельбе по мишени)

 

 

Для решения вероятностных задач используют формулы комбинаторики:

1) число перестановок P_n из n элементов равно:

Перестановки – комбинации, которые можно составить из n эл-тов по n эл-тов в каждой, чтобы они отличались только порядком расположения этих эл-тов.

2) число размещений m элементов из равно:

Размещение – комбинации, которым можно составить из n эл-тов по m эл-тов в каждой и отличающихся друг от друга либо составом эл-тов, либо порядком расположения эл-тов.

3) число различных сочетаний m элементов из n равно

Сочетания – комбинации, которые можно составить из n эл-тов по m эл-тов в каждой и отличающихся друг от друга только составом эл-тов.

Правило суммы

Если объект А может быть извлечён из нек. совок-сти объектов m способами, а объект В может быть извлечён из совок-сти объектов n способами, то извлечь объект А и объект В (либо А, либо В) можно n+m способами

Правило произведения

Если объект А может быть извлечён из нек. совок-сти объектов m способами и для каждого способа извлечения объекта А объект В может быть извлечён n способами, то извлечь объект А, и объект В можно nm способами.

 

 

Суммой событий А и В наз. событие С = А + В, состоящее в наступлении хотя бы 1-го из этих событий.

Если А и В – несовместные, то А+В – это событие, состоящее в наступлении либо события А, либо события В.

 

Если А и В – совместные, то А+В – это события, состоящие в наступлении либо события А, либо события В, либо события АВ (и А, и В).