Интервал и радиус сходимости степенных рядов

Функциональный ряд вида

или вида

,

членами которых являются степенные функции, называется степенным. Действительные числа C_n называются коэффициентами степенного ряда. Степенной ряд всегда сходится, по крайней мере, при х = 0, а ряд при х = а. Ряд называют рядом по степеням х, а ряд – по степеням (х - а). Так как заменой х – а = Х ряд приводится к виду, то в дальнейшем будем рассматривать степенные ряды.

 

Теорема 10.9.1(теорема Абеля).

1. Если степенной ряд сходится при некотором значении , то он абсолютно сходится при всяком значении х, удовлетворяющему неравенству ;

2. если ряд расходится при некотором значении х ₁, то он расходится при всяком х, для которого .

Доказательство. Так как по условию числовой ряд

сходится, то из необходимого признака сходимости следует, что его общий член при n ® ¥, а это значит, что $ М > 0, что все члены ряда по абсолютной величине меньше М, т.е. для всех n = 0, 1, 2, …

Перепишем ряд в виде

и рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов:

Члены этого ряда меньше соответствующих членов ряда

Последний ряд представляет собой сумму членов геометрической прогрессии со знаменателем и, следовательно, сходится, когда q < 1, т.е. для .

Тогда по первому признаку сравнения ряд тоже сходится, а это значит, что ряд или сходится абсолютно.

Пусть теперь ряд расходится в точке х ₁. Предположим, что в некоторой точке х ₂, такой, что , ряд сходится. Тогда по только что доказанному он должен сходиться и в точке х ₁, что противоречит условию. Значит, для всех х, таких, что , ряд расходится.

Таким образом, теорема полностью доказана.

Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда. Действительно, если х ₀ есть точка сходимости, то весь интервал заполнен точками абсолютной сходимости (из Þ ). Если же х ₁ - точка расходимости, то вся бесконечная полупрямая вправо от точки и вся полупрямая влево от точки - состоят из точек расходимости (из Þ , ).

 

Из этого можно заключить, что $ такое число R, что при (- R < x < R) мы имеем точки абсолютной сходимости, а при (x <- R, x > R) – точки расходимости.

Таким образом, мы доказали следующую теорему.

 

Теорема 10.9.2.Областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в начале координат.

 

Определение 10.9.1. Интервалом сходимости степенного ряда называется такой интервал (- R, R), что для всех точек х, лежащих внутри этого интервала, ряд сходится и притом абсолютно, а для точек х, лежащих вне его, ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

На концах интервала (т.е. при х = R и при х = - R) вопрос о сходимости или расходимости данного ряда решается индивидуально для каждого конкретного ряда.

Замечание 10.9.1.Интервалом сходимости ряда по степеням (х - а) является интервал (а - R, а + R) с центром в точке а, так как из Þ .

Укажем способ определения радиуса сходимости степенного ряда.

Пусть имеем ряд

(10.9.1)

Рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов

Для определения сходимости этого ряда (с положительными членами!) применим признак Даламбера.

,

где . Тогда ряд сходится, если р < 1, т.е

Þ , и расходится, если р > 1, т.е. Þ . Следовательно, ряд (10.9.1) сходится абсолютно при . Если же , то , и ряд расходится, причем его общий член не стремится к нулю. Но тогда и общий член ряда (10.9.1) не стремится к нулю, а это означает, что этот степенной ряд расходится (при ).

Из предыдущего следует, что интервал есть интервал сходимости степенного ряда (10.9.1), т.е.

.

Аналогичным образом, используя радикальный признак Коши, можно получить еще одну формулу для определения радиуса сходимости.

.

Отметим, что в обеих формулах С_n – коэффициент при хⁿ, а не общий член ряда .

 

Пример 10.9.1. Определить область сходимости ряда

.

Решение: Рассмотрим ряд из абсолютных величин:

, . Тогда . Таким образом, интервал сходимости . Исследуем сходимость на концах интервала. При получается ряд:

Þ или

, который расходится, как гармонический ряд.

Пусть, далее , тогда из данного степенного ряда получаем знакочередующийся ряд Þ , который сходится по теореме Лейбница. Ряд абсолютных величин , как известно, расходится.

Ответ: – при ряд условно сходится.

 

Пример 10.9.2. Определить область сходимости ряда

Решение: , .

. Таким образом, (-¥, +¥) – область сходимости.

 

Пример 10.9.3. Определить область сходимости ряда

Решение: Þ . Применим формулу . Значит, ряд расходится при всех значениях х, кроме х = 0.

Замечание 10.9.2. Если имеется ряд не по степеням , а, например, по степеням , и т.д., то формулы для нахождения радиуса сходимости R применять нельзя, а нужно рассмотреть ряд из абсолютных величин соответствующих членов и применить сам признак Даламбера или признак Коши.

 

Пример 10.9.4. Найти область сходимости ряда

.

Решение: Рассмотрим ряд из абсолютных величин и применим признак Даламбера:

.

Ряд сходится, причем абсолютно, если р < 1, т.е. Þ Þ , – интервал сходимости, R = 2.

Если бы мы ошибочно подумали, что , то по формуле .

Исследуем сходимость на концах интервала. Пусть х = 2, тогда ряд , Þ ряд расходится.

Пусть х = -2, имеем ряд такой же, как и при х = 2.

Таким образом, (-2, 2) – область сходимости данного ряда.