Абсолютно и условно сходящиеся ряды

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Рассмотренные в п.10.6 знакочередующиеся ряды являются, очевидно, частным случаем знакопеременных рядов.

Дадим один важный достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.

 

Теорема 10.7.1.Если знакопеременный ряд

таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов,

сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится.

Доказательство. Пусть и – суммы n первых членов рядов и.

Пусть, далее, – сумма всех положительных, а – сумма абсолютных величин всех отрицательных членов среди первых n членов ряда; тогда

, .

По условию ; и – положительные возрастающие величины, меньшие s. Следовательно, и . Из соотношения следует, что

,

т.е. знакопеременный ряд сходится.

Доказанная теорема дает возможность судить о сходимости некоторых знакопеременных рядов. Исследование вопроса о сходимости сводится в этом случае к исследованию рядов с положительными членами.

 

Пример 10.7.1. Исследовать сходимость ряда

где a - любой угол (в зависимости от a может иметь любой знак).

Решение. Рассмотрим два ряда:

и

Ряд сходится, как ряд Дирихле (р = 3 > 1). Члены ряда не больше соответственных членов ряда (так как ); следовательно, ряд тоже сходится по первому признаку сравнения. Но тогда в силу доказанной теоремы данный знакопеременный ряд тоже сходится.

Заметим, что этот признак сходимости является только достаточным признаком сходимости, но не необходимым: существуют такие знакопеременные ряды, которые сами сходятся, но ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.

 

Пример 10.7.2. Ряд сходится по теореме Лейбница, хотя ряд из абсолютных величин его членов является гармоническим и, как известно, расходится.

В связи с этим полезно ввести понятие об абсолютной и условной сходимости знакопеременных рядов и на основе этих понятий классифицировать знакопеременные ряды.

 

Определение 10.7.1.Знакопеременный ряд

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд расходится, то данный ряд называется условно, или неабсолютно, сходящимся рядом.

Таким образом, ряд , рассмотренный в примере 10.7.2, условно сходящийся, а ряд абсолютно сходящийся.

 

Пример 10.7.3. Знакопеременный ряд

есть ряд абсолютно сходящийся, так как ряд из абсолютных величин его

,

как было показано в п.10.5 при помощи признака Даламбера, сходится.