Условия разложения функции в ряд Тейлора

Определение 10.11.1.Пусть функция f (x) в некоторой окрестности точки а имеет производные всех порядков. Степенной ряд по степеням (х - а)

называется рядом Тейлора функции f (x) в точке а. Если а = 0, то ряд

называется рядом Маклорена.

Эти ряды широко используются для получения приближения f (x) в окрестности точки х = а. Заметим, что ряд, составленный для функции f (x), может расходиться или сходиться не к функции f (x). Например, функция в точке а= 0 имеет производные всех порядков, равные нулю. Поэтому ее ряд Маклорена имеет вид 0+0 х +0 х ²+…, который сходится, но не к нашей функции f (x), не равной нулю ни в какой точке х ¹ 0.

Представляет интерес тот случай, когда ряд Тейлора функции f (x) сходится к f (x) в некоторой окрестности точки а.

Из ряда Тейлора следует, что его n -й частичной суммой является многочлен Тейлора

.

Отсюда, если ряд Тейлора сходится к функции f (x), справедливо равенство

,

где – остаток ряда. Для сходимости ряда Тейлора к функции f (x) необходимо и достаточно выполнения условия

,

где х принадлежит некоторой окрестности точки а.

Разложим функцию по формуле Тейлора:

,

где остаточный член представим одним из следующих видов:

– форма Лагранжа (С находится между а и х, 0 < q <1);

– форма Пеано.

Из формулы и равенств и вытекает, что остаток ряда Тейлора равен остаточному члену формулы Тейлора , т.е. , при выполнении условия.

Итак, если ряд Тейлора функции f (x), для которой он составлен, сходится в окрестности точки х = 0 к этой функции, то имеет место равенство

Если для какой-нибудь функции формально написан ряд Тейлора, то чтобы доказать, что написанный ряд представляет именно данную функцию, нужно либо доказать, что остаточный член стремится к нулю, либо каким-либо иным способом убедиться, что написанный ряд сходится к данной функции.

 

 

10.12. Разложение по степеням х функций

, sin x, cos x,

Рассмотрим примеры разложения некоторых функций в ряд Маклорена.

1. , а = 0.

Так как , а , то

,

где .

Покажем, что для любого х. Для этого рассмотрим степенной ряд и покажем, что он абсолютно сходится для всех . Действительно, .

Так как ряд сходится для всех х, то из необходимого признака сходимости следует, что для всех .

Функция для всех х £ 0 удовлетворяет неравенству

.

Если , то , так как 0 < q < 1.

Тогда , как произведение функции ограниченной на бесконечно малую.

Следовательно, для всех значений х полученный ряд Маклорена сходится и представляет функцию .

 

2. , а = 0.

, ,

, , …,

.

Тогда , , , , , … и мы имеем разложение в ряд Маклорена

,

где (С находится между 0 и х).

, так как , а .

 

3. , а = 0.

Аналогично, как в предыдущем примере, получаем

,

где (С находится между 0 и х).

Очевидно, .

 

4. Биномиальный ряд и его частные случаи.

Разложим в ряд Маклорена функцию , где m - произвольное постоянное число.

Здесь оценка остаточного члена представляет некоторые трудности, и потому к оценке условий разложимости подойдем несколько иначе.

Сначала формально найдем коэффициенты разложения в ряд Маклорена. ; Þ ;

Þ ;

Þ Þ,

………………………………………………,

.

Поэтому

Этот ряд называется биномиальным, найдем его интервал сходимости.

.

Значит, ряд сходится абсолютно при . Покажем, что суммой этого ряда является .

В самом деле, нетрудно проверить, что функция f (x), определяемая биномиальным рядом, является решением задачи Коши для дифференциального уравнения , f (0)=1. Но решением этой же задачи является функция , так как и Þ . Отсюда в силу единственности решения задачи Коши получаем , , т.е. биномиальный ряд сходится абсолютно в интервале (-1, 1) к . На концах интервала для некоторых т ряд сходится, для некоторых - расходится, об этом сказано в практической части модуля.

Заметим, что если m – целое положительное число, то биномиальный ряд превращается в бином Ньютона.

Рассмотрим частные случаи биномиального ряда:

1) при m = -1 получаем

;

2) при m = имеем

;

3) при m = -

Применим разложение биномиального ряда к разложению других функций. Разложим в ряд Маклорена функцию .

Подставляя в последнее равенство вместо х выражение , получим

На основании теоремы об интегрировании степенных рядов получаем:

Этот ряд сходится для .

 

 

Приложение рядов к приближенным вычислениям