Производная основных элементарных функций.

Производная логарифмической функции. y=log_ax

Dy = log_a(x+Dx)-log_ax = log_a(1+Dx/x) = 1 log_a(1+Dx/x) = 1log_a(1+t) = 1 log_a(1+t)^1/t

Dx Dx Dx x Dx/x x t x

где t=Dx/x Используя непрерывность функции log_ax в точке х=е и первый замечательный предел, найдём производную логарифмической функции: (log_ах)¢= 1( log_а(lim(1+t)^1/t) = 1 log_ae= 1.

x ^t®0 x x lna

Производная показательной функции.

У=а^х является обратной для функции х=log_ау. По теореме

у¢_х= 1 = 1 =ylna

x¢_y 1/ylna

Поскольку у=а^х, получаем (а^х)¢=а^хlna.

Производная степенной функции.

Функция у=х^а при х>0 может быть представлена в виде х^а=е^alnx. Найдём (х^а)¢=(е^alnx)¢= е^alnx(alnx)¢=х^а_*а/х=ах^а-1 Аналогично доказывается для x<0.

Производные тригонометрических функций.

С помощью формулы sinа-sinb=2sin[(a-b)/2]_*cos[(a+b)/2], первого замечательного предела и непрерывности функции cos x найдём

(sinх)¢=lim sin (х+Dх) – sinх = lim 2sin(Dх/2) cos(х+Dх/2) =

^Dx®0 Dx ^Dx®0 Dx

=lim sin(Dх/2) cos(х+Dх/2) = cos x

^Dx®0 Dx/2

Для нахождения производных функций cos x и tg x можно использовать тождество cos x=sin(x-p/2), правило дифференцирования сложной функции.

Итак, (sin х)¢=cos x, (cos x)¢= - sin x, (tg x)¢=1/cos² x.

Производные обратных тригонометрических функций.

Функция у=arcsinx является обратной для функции х=sinу. Следовательно, (arcsinx)¢_x= 1 = 1 = 1 = 1

(siny)¢_y cosy Ö1-sin²x^Ø Ö1-x^2Ø

Аналогично находятся остальные обратные тригонометрические функции. (arcsinx)¢=1/Ö1-x^2Ø, (arccosx)¢= - 1/Ö1-x^2Ø, (arctgx)¢=-1/(x²+1).

12. Правило Лопиталя

Теорема (правило Лопиталя). Пусть А – число, символ одностороннего предела (А=а±0) или символ бесконечности (А=±∞). Пусть функции ƒ(х) и g(х) либо обе бесконечно малые, либо обе бесконечно большие при х→А. Тогда, если существует предел

(конечный или бесконечный),

 

то существует и предел при этом выполняется равенство:

Доказательство:

Доказательство теоремы дадим в случае, когда ƒ(х) и g(х) – бесконечно малые функции и А=а – число. Изменим, если это необходимо, определение функций ƒ(х) и g(х) в точке а так, чтобы значения этих функций в точке а были бы равны нулю: ƒ(х) = g(х)=0. Так как

 

и

 

то ƒ(х) и g(х) непрерывны в точке а,и к этим функциям можно применить теорему Коши. Учитывая, что ƒ(а) = ƒ(b)=0, получим

 

 

для некоторой точки с, расположенной между точками а и х. При х→а имеем с→а и, следовательно если ƒ(х)→0 и g(х)→0 (соответственно, |ƒ(х)|→+∞, |g(х)|→+∞), когда а→А. Правило Лопиталя позволяет во многих случаях найти предел вида

или, иными словами, раскрыть неопределенность.

В ряде случаев по правилу Лопиталя удается раскрыть неопределенности вида

Для этого следует воспользоваться тождеством

 

которое приводит указанные неопределенности к виду 0•х.

Производные и дифференциалы высших порядкров.

Если для функции y=f(x) определена производная у^(к-1) порядка (к-1), то производную у^(к) порядка к (при условии ее существования) определяют как производную от производной порядка (к-1), т.е. у^(к) = (у^(к-1))′. В частности, у’’=(y’)’- производная второго порядка, y’’’=(y’’)’ – третьего и т.д.

При вычислении производных высших порядков используют те же правила, что и для вычисления у’.

Табл. Произ-х высшего порядка:

f(x)	f^n(x)
X^a E^x E^kx A^kx Lnx Logax Sinkx Cos kx	A(a-1)*(a-2)*…*(а-n+1)*х ^a-n Е^х K^n*e^kx (K* Lna)^n*a^kx (-1)^n-1*(n-1)!/x^n (-1)^n-1*(n-1)!/(x^n*lna) k^n*sin(kx+n*π/2) k^n*cos (kx+n*π/2)

 

Дифференциалы высших порядков ф-и y=f(v) последовательно определяются таким образом:

d²y=d(dy) – диф-л 2-го порядка

d³y=d(d²y)…

dⁿy=d(d ^n-1 y) - диф-л n-го порядка

Если ф-я y=f(v), где v – независимая переменная или линейная ф-я v=кх+в переменной х, то d²y=y’’(dv)², d³y=y’’’(dv)³,…, dⁿy=y⁽ⁿ⁾⁽dv)ⁿ.

Если же y=f(v), где v=g(x)≠кх+в, то d²y=f’’(v)*(dv)²+ f’(v)d²v и т.д. (т.е. св-во инвариантности не выполняется).

Формула Тейлора.

Пусть функция f(x) имеет n производных в точке x₀. Многочлен

T(x) = f(x₀) + ((f’(x₀))/1!)(x – x₀)¹ + (f ”(x₀))/2!(x – x₀)² +…+ (f ⁽ⁿ⁾(x₀))/n!(x – x₀)ⁿ

Называется n-м многочленом Тейлора функции f(x) в точке x₀.

Пусть функция f(x) имеет в ε – окрестности точки x₀ (n + 1) производных. Тогда для любой точки х из этой окрестности найдется точка с, расположенная между точками х и х₀, для которой выполняется следующая формула

F(x) = T(x) + (f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) / (n + 1)!)(x – x₀)ⁿ⁺¹ – формула Тейлора,

где Т(x) – n-й многочлен Тейлора функции f(x) в точке х₀,

r_n(x) = (f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) / (n + 1)!)(x – x₀)ⁿ⁺¹ – остаточный член в формуле Лагранжа.

Предположим, что (n+1)-я производная функция f(x) ограничена в окрестности точки х₀. Тогда r_n(x) является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х-х₀)ⁿ при х ® х₀. (lim (r_n(x)/(х-х₀)ⁿ) = lim [((f⁽ⁿ⁺¹⁾(c))/(n+1)!)(x-x₀)] = 0 – в силу

^{Х®Хо Х®Хо}

Ограниченности f⁽ⁿ⁺¹⁾ (c) в окрестности х₀.) Следовательно ошибка в приближенном равенстве f(x)» T_n(x) (*) также является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х – х₀)ⁿ, когда х ® х₀.

Формула (*) применяется для приближенных вычислений.

Используя равенство (*) можно подучить, например следующие формулы (при х®0):

1) (1+x)^a» 1 + (a/1!)x + (a(a-1)/2!)x² +…+ (a(a-1)…(a-n+1)/n!)xⁿ,

2) e^x» 1 + x/1! + x²/2! +…+ xⁿ/n!,

3) ln(1+x)» x – x²/2 + x³/3 – x⁴/4 +…+(-1)ⁿ⁺¹xⁿ/n

4) sin x» x – x³/3! + x⁵/5! – x⁷/7! +…+(-1)^kx^2k+1/(2k+1)!,

5) cos x» 1 – x²/2! + x⁴/4! – x⁶/6! +…+(-1)^kx^2k/(2k)!,

где в каждом случае ошибка является бесконечно малой относительно хⁿ.