Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Производная основных элементарных функций.Содержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Производная логарифмической функции. y=logax Dy = loga(x+Dx)-logax = loga(1+Dx/x) = 1 loga(1+Dx/x) = 1loga(1+t) = 1 loga(1+t)1/t Dx Dx Dx x Dx/x x t x где t=Dx/x Используя непрерывность функции logax в точке х=е и первый замечательный предел, найдём производную логарифмической функции: (logах)¢= 1( logа(lim(1+t)1/t) = 1 logae= 1. x t®0 x x lna Производная показательной функции. У=ах является обратной для функции х=logау. По теореме у¢х= 1 = 1 =ylna x¢y 1/ylna Поскольку у=ах, получаем (ах)¢=ахlna. Производная степенной функции. Функция у=ха при х>0 может быть представлена в виде ха=еalnx. Найдём (ха)¢=(еalnx)¢= еalnx(alnx)¢=ха*а/х=аха-1 Аналогично доказывается для x<0. Производные тригонометрических функций. С помощью формулы sinа-sinb=2sin[(a-b)/2]*cos[(a+b)/2], первого замечательного предела и непрерывности функции cos x найдём (sinх)¢=lim sin (х+Dх) – sinх = lim 2sin(Dх/2) cos(х+Dх/2) = Dx®0 Dx Dx®0 Dx =lim sin(Dх/2) cos(х+Dх/2) = cos x Dx®0 Dx/2 Для нахождения производных функций cos x и tg x можно использовать тождество cos x=sin(x-p/2), правило дифференцирования сложной функции. Итак, (sin х)¢=cos x, (cos x)¢= - sin x, (tg x)¢=1/cos2 x. Производные обратных тригонометрических функций. Функция у=arcsinx является обратной для функции х=sinу. Следовательно, (arcsinx)¢x= 1 = 1 = 1 = 1 (siny)¢y cosy Ö1-sin2xØ Ö1-x2Ø Аналогично находятся остальные обратные тригонометрические функции. (arcsinx)¢=1/Ö1-x2Ø, (arccosx)¢= - 1/Ö1-x2Ø, (arctgx)¢=-1/(x2+1). Теорема (правило Лопиталя). Пусть А – число, символ одностороннего предела (А=а±0) или символ бесконечности (А=±∞). Пусть функции ƒ(х) и g(х) либо обе бесконечно малые, либо обе бесконечно большие при х→А. Тогда, если существует предел (конечный или бесконечный),
то существует и предел при этом выполняется равенство: Доказательство: Доказательство теоремы дадим в случае, когда ƒ(х) и g(х) – бесконечно малые функции и А=а – число. Изменим, если это необходимо, определение функций ƒ(х) и g(х) в точке а так, чтобы значения этих функций в точке а были бы равны нулю: ƒ(х) = g(х)=0. Так как
и
для некоторой точки с, расположенной между точками а и х. При х→а имеем с→а и, следовательно если ƒ(х)→0 и g(х)→0 (соответственно, |ƒ(х)|→+∞, |g(х)|→+∞), когда а→А. Правило Лопиталя позволяет во многих случаях найти предел вида или, иными словами, раскрыть неопределенность. В ряде случаев по правилу Лопиталя удается раскрыть неопределенности вида Для этого следует воспользоваться тождеством
которое приводит указанные неопределенности к виду 0•х. Производные и дифференциалы высших порядкров. Если для функции y=f(x) определена производная у(к-1) порядка (к-1), то производную у(к) порядка к (при условии ее существования) определяют как производную от производной порядка (к-1), т.е. у(к) = (у(к-1))′. В частности, у’’=(y’)’- производная второго порядка, y’’’=(y’’)’ – третьего и т.д. При вычислении производных высших порядков используют те же правила, что и для вычисления у’. Табл. Произ-х высшего порядка:
Дифференциалы высших порядков ф-и y=f(v) последовательно определяются таким образом: d2y=d(dy) – диф-л 2-го порядка d3y=d(d2y)… dny=d(d n-1 y) - диф-л n-го порядка Если ф-я y=f(v), где v – независимая переменная или линейная ф-я v=кх+в переменной х, то d2y=y’’(dv)2, d3y=y’’’(dv)3,…, dny=y(n)(dv)n. Если же y=f(v), где v=g(x)≠кх+в, то d2y=f’’(v)*(dv)2+ f’(v)d2v и т.д. (т.е. св-во инвариантности не выполняется). Формула Тейлора. Пусть функция f(x) имеет n производных в точке x0. Многочлен T(x) = f(x0) + ((f’(x0))/1!)(x – x0)1 + (f ”(x0))/2!(x – x0)2 +…+ (f (n)(x0))/n!(x – x0)n Называется n-м многочленом Тейлора функции f(x) в точке x0. Пусть функция f(x) имеет в ε – окрестности точки x0 (n + 1) производных. Тогда для любой точки х из этой окрестности найдется точка с, расположенная между точками х и х0, для которой выполняется следующая формула F(x) = T(x) + (f(n+1)(c) / (n + 1)!)(x – x0)n+1 – формула Тейлора, где Т(x) – n-й многочлен Тейлора функции f(x) в точке х0, rn(x) = (f(n+1)(c) / (n + 1)!)(x – x0)n+1 – остаточный член в формуле Лагранжа. Предположим, что (n+1)-я производная функция f(x) ограничена в окрестности точки х0. Тогда rn(x) является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х-х0)n при х ® х0. (lim (rn(x)/(х-х0)n) = lim [((f(n+1)(c))/(n+1)!)(x-x0)] = 0 – в силу Х®Хо Х®Хо Ограниченности f(n+1) (c) в окрестности х0.) Следовательно ошибка в приближенном равенстве f(x)» Tn(x) (*) также является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х – х0)n, когда х ® х0. Формула (*) применяется для приближенных вычислений. Используя равенство (*) можно подучить, например следующие формулы (при х®0): 1) (1+x)a» 1 + (a/1!)x + (a(a-1)/2!)x2 +…+ (a(a-1)…(a-n+1)/n!)xn, 2) ex» 1 + x/1! + x2/2! +…+ xn/n!, 3) ln(1+x)» x – x2/2 + x3/3 – x4/4 +…+(-1)n+1xn/n 4) sin x» x – x3/3! + x5/5! – x7/7! +…+(-1)kx2k+1/(2k+1)!, 5) cos x» 1 – x2/2! + x4/4! – x6/6! +…+(-1)kx2k/(2k)!, где в каждом случае ошибка является бесконечно малой относительно хn.
|
||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-21; просмотров: 486; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.191.237.176 (0.01 с.) |