Производная основных элементарных функций.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Производная основных элементарных функций.



Производная логарифмической функции. y=logax

Dy=loga(x+Dx)-logax=loga(1+Dx/x)=1 loga(1+Dx/x)= 1loga(1+t)=1 loga(1+t)1/t

Dx Dx Dx x Dx/x x t x

где t=Dx/x Используя непрерывность функции logax в точке х=е и первый замечательный предел, найдём производную логарифмической функции: (logах)¢= 1(logа(lim(1+t)1/t) = 1logae= 1.

x t®0 x x lna

Производная показательной функции.

У=ах является обратной для функции х=logау. По теореме

у¢х= 1= 1 =ylna

y 1/ylna

Поскольку у=ах, получаем (ах)¢=ахlna.

Производная степенной функции.

Функция у=ха при х>0 может быть представлена в виде хаalnx. Найдём (ха)¢=( еalnx)¢= еalnx(alnx)¢=ха*а/х=аха-1 Аналогично доказывается для x<0.

Производные тригонометрических функций.

С помощью формулы sinа-sinb=2sin[(a-b)/2]*cos[(a+b)/2] , первого замечательного предела и непрерывности функции cos x найдём

(sinх)¢=lim sin (х+Dх) – sinх= lim 2sin(Dх/2) cos(х+Dх/2) =

Dx®0 Dx Dx®0 Dx

=lim sin(Dх/2) cos(х+Dх/2) = cos x

Dx®0 Dx/2

Для нахождения производных функций cos x и tg x можно использовать тождество cos x=sin(x-p/2) , правило дифференцирования сложной функции.

Итак, (sin х)¢=cos x, (cos x)¢= - sin x, (tg x)¢=1/cos2 x.

Производные обратных тригонометрических функций.

Функция у=arcsinx является обратной для функции х=sinу. Следовательно, (arcsinx)¢x= 1 = 1= 1= 1

(siny)¢y cosy Ö1-sin2xØ Ö1-x2Ø

Аналогично находятся остальные обратные тригонометрические функции. (arcsinx)¢=1/Ö1-x2Ø, (arccosx)¢= - 1/Ö1-x2Ø, (arctgx)¢=-1/(x2+1).


12. Правило Лопиталя

Теорема (правило Лопиталя). Пусть А – число, символ одностороннего предела (А=а±0) или символ бесконечности (А=±∞). Пусть функции ƒ(х) и g(х) либо обе бесконечно малые, либо обе бесконечно большие при х→А. Тогда, если существует предел

(конечный или бесконечный),

 

то существует и предел при этом выполняется равенство:

Доказательство:

Доказательство теоремы дадим в случае, когда ƒ(х) и g(х) – бесконечно малые функции и А=а – число. Изменим, если это необходимо, определение функций ƒ(х) и g(х) в точке а так, чтобы значения этих функций в точке а были бы равны нулю: ƒ(х) = g(х)=0. Так как

 

и

 


то ƒ(х) и g(х) непрерывны в точке а,и к этим функциям можно применить теорему Коши. Учитывая, что ƒ(а) = ƒ(b)=0, получим

 

 

для некоторой точки с, расположенной между точками а и х. При х→а имеем с→а и, следовательно если ƒ(х)→0 и g(х)→0 (соответственно, |ƒ(х)|→+∞, |g(х)|→+∞), когда а→А.Правило Лопиталя позволяет во многих случаях найти предел вида

или, иными словами, раскрыть неопределенность.

В ряде случаев по правилу Лопиталя удается раскрыть неопределенности вида

Для этого следует воспользоваться тождеством

 

которое приводит указанные неопределенности к виду 0•х.

Производные и дифференциалы высших порядкров.

Если для функции y=f(x) определена производная у(к-1) порядка (к-1), то производную у(к) порядка к (при условии ее существования) определяют как производную от производной порядка (к-1), т.е. у(к) = (у(к-1))′ . В частности, у’’=(y’)’- производная второго порядка, y’’’=(y’’)’ – третьего и т.д.

При вычислении производных высших порядков используют те же правила, что и для вычисления у’.

Табл. Произ-х высшего порядка:

f(x) fn(x)
Xa Ex Ekx Akx Lnx Logax Sinkx Cos kx A(a-1)*(a-2)*…*(а-n+1)*х a-n Ех Kn*ekx (K* Lna)n*akx (-1)n-1*(n-1)!/xn (-1)n-1*(n-1)!/(xn*lna) kn*sin(kx+n*π/2) kn*cos (kx+n*π/2)

 

Дифференциалы высших порядков ф-и y=f(v) последовательно определяются таким образом:

d2y=d(dy) – диф-л 2-го порядка

d3y=d(d2y)…

dny=d(d n-1 y) - диф-л n-го порядка

Если ф-я y=f(v), где v – независимая переменная или линейная ф-я v=кх+в переменной х, то d2y=y’’(dv)2, d3y=y’’’(dv)3,…, dny=y(n)(dv)n.

Если же y=f(v), где v=g(x)≠кх+в, то d2y=f’’(v)*(dv)2+ f’(v)d2v и т.д. (т.е. св-во инвариантности не выполняется).

Формула Тейлора.

Пусть функция f(x) имеет n производных в точке x0. Многочлен

T(x) = f(x0) + ( (f’(x0))/1! )(x – x0)1 + (f ”(x0))/2!(x – x0)2 +…+ (f (n)(x0))/n!(x – x0)n

Называется n-м многочленом Тейлора функции f(x) в точке x0.

Пусть функция f(x) имеет в ε – окрестности точки x0 (n + 1) производных. Тогда для любой точки х из этой окрестности найдется точка с, расположенная между точками х и х0, для которой выполняется следующая формула

F(x) = T(x) + ( f(n+1)(c) / (n + 1)!)(x – x0)n+1 – формула Тейлора,

где Т(x) – n-й многочлен Тейлора функции f(x) в точке х0,

rn(x) = ( f(n+1)(c) / (n + 1)!)(x – x0)n+1 – остаточный член в формуле Лагранжа.

Предположим, что (n+1)-я производная функция f(x) ограничена в окрестности точки х0. Тогда rn(x) является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х-х0)n при х ® х0. (lim (rn(x)/(х-х0)n) = lim [((f(n+1)(c))/(n+1)!)(x-x0)] = 0 – в силу

Х®Хо Х®Хо

Ограниченности f(n+1) (c) в окрестности х0.) Следовательно ошибка в приближенном равенстве f(x) » Tn(x) (*) также является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х – х0)n, когда х ® х0.

Формула (*) применяется для приближенных вычислений.

Используя равенство (*) можно подучить, например следующие формулы (при х®0):

1) (1+x)a » 1 + (a/1!)x + (a(a-1)/2!)x2 +…+ (a(a-1)…(a-n+1)/n!)xn,

2) ex » 1 + x/1! + x2/2! +…+ xn/n!,

3) ln(1+x) » x – x2/2 + x3/3 – x4/4 +…+(-1)n+1xn/n

4) sin x » x – x3/3! + x5/5! – x7/7! +…+(-1)kx2k+1/(2k+1)!,

5) cos x » 1 – x2/2! + x4/4! – x6/6! +…+(-1)kx2k/(2k)!,

где в каждом случае ошибка является бесконечно малой относительно хn.


 

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-21; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.227.235.216 (0.02 с.)