Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых классов иррациональных и трансцендентных функций.

(конкретные числовые примеры по данному вопросу см. в лекции за 21.03.00)

Рассмотрим интегал вида òR(x)dx, где R(x) – рациональная функция, т.е функция, которую можно представить в виде отношения двух многочленов R(x)=P(x)/Q(x). Если эта дробь неправильная, то можно выполнить деление с остатком и представить R(x) в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби.

Теорема. Всякая правильная дробь может быть представлена как сумма простейших дробей вида

A; A; Mx+N; Mx+N.

x-a (x-a)ⁿ x²+px+q (x²+px+q)ⁿ

, где A,M,N,a,p,q – действительные числа.

Непростейшие дроби.

Лемма 1. Пусть F(x)/Q(x) – правильная дробь. Если х=а- корень Q(x) кратности К,т.е. Q(x)=(x-a)^K_*Q₁(x), где Q₁(a) не равно нулю, то F(x) = A_K + F₁(x)

Q(x) (x-a)^K Q₁(x)_*(x-a)^K-1

Лемма 2. Пусть F(x)/Q(x) – правильная дробь. Если Q(x)=(x²+px+q)^K_*Q₁(x) Þ

F(x) = M_Kx+N_K + F₁(x).

Q(x) (x²+px+q)^K (x²+px+q)^K-1_*Q₁(x)

Теорема разложения правилоной дроби на простейшие. Пусть F(x)/Q(x) – правильная дробь. Если Q(x)=(x-a)^a(x-b)^b_*…_*(x-c)^g(x²+p₁x+q₁)^K_*…_*(x²+p₂x+q₂)^m Þ эта дробь разлагается в сумму простейших дробей следующего вида:

F(x) = A_a + A_a-1 +…+ A₁ + B_b + B_b-1 +…+ B₁ + C_g + C_g-1 +…+ C₁ +

Q(x) (x-a)^a (x-a) ^a-1 x-a (x-b)^b (x-b) ^b-1 x-b (x-c)^g (x-c) ^g-1 x-c

+ M_Kx+N_K + M_K-1x+N_K-1 +…+ M₁x+N₁ + C_mx+D_m + C_m-1x+D_m-1 +…+ C₁x+D₁

(x²+p₁x+q₁)^K (x²+p₁x+q₁)^K-1 x²+p₁x+q₁ (x²+p₂x+q₂)^m (x²+p₂x+q₂)^m-1 x²+p₂x+q₂

Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.

Трансцендентная функция – аналитическая функция, не являющаяся алгебраической. (Например, показательная функция тригонометрической функции.)

òR(x,x^m1/n1,…x^mk/nk)dx, где R – рациональная функция от х и её дробных степеней. Такой интеграл может быть решён с помощью замены степени с дробным показателем на степень функции с целым показателем. (подробнее см. в лекциях)

.

òR(x,ÖAx²+Bx+C)dx Под корнем выделяется полный квадрат и решается с помощью замены переменной.

..

òdx/Ö Ax²+Bx+C, òÖ Ax²+Bx+C dx

Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов.

Теорема. Пусть функция у=f(х) непрерывна на отрезке [а, b] и F(х) – первообразная для f(х).Тогда

 

(*)

 

Доказательство: Поскольку функция f(х) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на этом отрезке и имеет первообразную на этом отрезке. Проверим справедливость формулы (*). Действительно,

 

 

подставляя х=b, получим

а подставляя х=а, получим

 

 

поэтому

 

 

Если F(х) – другая первообразная для функции f(х), то выполняется равенство F(х)= Ф(х)+С. Имеем

F(b)-F(a)=(Ф(b)+C)-(Ф(а)+С)=Ф(b)-Ф(а)

что завершает доказательство формулы (*). Разность F(b)-F(a) часто записывают в виде

 

и формула Ньютона-Лейбница в этом случае принимает следующий вид:

 

 

(**)

Мы доказали формулу для случая, когда f(х) непрерывная на [а, b] функция. В действительности эта формула справедлива для любой функции f(х), имеющей первообразную F(x)/

Формулу (**) обычно называют основной формулой интегрального исчисления. она позволяет сводить нахождение определенного интеграла к нахождению первообразной.

 

 

Несобственые интегралы с бесконечными пределами.

Пусть y=f(x) определена и непрерывна на промежутке [a;+∞], интегрируема на любом [a;b] (b>a). Сущ-т ∫_a^b f(x)dx для любого b>a. Обозначим ∫_a^b f(x)dx = Ф(b).

Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом от ф-и y=f(x) мы назовем предел вида ∫_a^∞ f(x)dx=lim Ф(b) при b→+∞. Этот инт-л наз. Сходящимся, если предел ф-и lim Ф(b) при b→+∞ сущ-т и конечен. В противном случае он наз расходящимся.

Аналогично определяем несобственный инт-л с бесконечным нижним пределом. Пусть y=f(x) определена и непрерывна на промежутке (-∞;в], интегрируема на любом [a;b] (a<b). Сущ-т ∫_a^b f(x)dx для любого a<b, Обозначим ∫_a^b f(x)dx = Ф(a), ∫_-∞^b f(x)dx = lim Ф(a) при а→–∞. Этот инт-л наз сходящимся, если предел сущ-т и конечен, в противном случае – расходящимся.

Несобственный инт-л с бесконечными нижним и верхним пределами. ∫_-∞^∞ f(x)dx

y=f(x) опред-на и непрерывна на (–∞;∞) и интегрируема для любого [а;b]. Возьмем произвольную точку с на (–∞;∞). Имеем: ∫_-∞^∞ f(x)dx = ∫_-∞^с f(x)dx + + ∫_с^∞ f(x)dx (1)

Если сущ-т несобственные интеграл с бесконеч. Верхним пределом и несоб. Инт-л с бесконечным нижним пределом, и они оба сходятся, то сходится и несобственный интеграл с бесконечным верхним и нижним пределом. В этом случае сумма (1) не зависит от выбора точки с.

Геометрич. смысл несобственного интеграла.

Пусть y=f(x) неотрицат. Непрерывная на [a;b). Для каждого b>a определенный инт-л ∫_a^b f(x)dx = S aABb. Мысленно перемещая Bb вправо, получим ∫_a^∞ f(x)dx=SaA∞.

A

 

B

 

a b