Понятие о критериях согласия. Проверка гипотез о равенстве долей и средних. Проверка гипотезы о виде распределения.

Статичтической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н₀. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н₁, которая противоречит нулевой. Правило, по которому принимают решение о том, принять или отклонить гипотезу Н₀, называют критерием. Обычно критерием служит некая случайная величина, вычисляемая по выборке. (Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе не известного распределения.)

В итоге статистической проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неправильное решение, т.е. могут быть допущены ошибки двух родов: 1) ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза; 2) ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать через a. Её называют уровнем значимости.

Статичтическим критерием называют величину К, которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Облать принятия гипотезы – совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают. Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы – гипотезу принимают.

 

облать значений К разбивается на две подоблати: подоблать принятия нулевой гипотезы (К кр.лев; К кр.прав); подобласть отклонения гипотезы Н₀.

Из определения уровня значимости следует, что a=ò ^{К кр.лев} f(k)dk+ò^+¥f(k)dk

^{-¥ К кр.прав.}

Если плотность распределения К симметрична относительно оси ординат,то

ò^+¥f(k)dk=a/2. Если f(k) и a известны, то можно найти К кр.прав.

^{К кр.прав.}

Проверка гипотезы по равенству математических ожиданий нормально распределённых совокупностей при известных дисперсиях.

Пусть Х – нормально распределённая случайная величина с неизвестным М(х)=а_х и известной D(x)=G²_x; Y - нормально распределённая случайная величина с неизвестным М(х)=а_у и известной D(x)=G²_y

В результате проведённого эксперимента вычисляется х_{средняя} и у_{средняя.}

Выдвигаем гипотезу Н₀: а_х=а_у и конкурирующую гипотезу Н₁: а_х не равно а_у.

Требуется оценить нулевую гипотезу с уровнем значимости a.

Решение.

Х_cр. распределена по нормальному закону Þ М(х)=а_х и D(x)=G²_x/n. У_ср. распределена по нормальному закону Þ М(у)=а_у и D(у)=G²_y/m

Х_ср.-У_ср. распределена по нормальному закону Þ М(х-у)=0 и D(x-у)=G²_x/n+G²_y/m. Введём случайную величину К= Х_ср.- У _ср.

Ö G²_x/n+G²_y/m ÞК имеет нормальное распределение с М(к)=0 и D(k)=1. Þ нормальное распределение симетрично Þò^+¥f(k)dk=a/2=0,5-Ф(К кр.прав.)

^{К кр.прав.}

Далее находим по таблицам фукнции Лапласса К кр.прав. Далее находим Кнабл. Затем: 1) Если Кнабл.Î[Ккр.лев; К кр.прав.], то гипотеза Н₀ принимается. 2) если КнаблÎ{критическая область}, то гипотеза Н₀ отвергается.

Проверка гипотезы о равенстве математическом ожидании нормально распределённой случайной величины при равных неизвестных диспрерсиях.

Пусть Х – нормально распределённая случайная величина с неизвестным М(х)=а_х и D(x)=G²; Y - нормально распределённая случайная величина с неизвестным М(х)=а_у и D(x)=G²

В результате проведённого эксперимента вычисляется х_{средняя} и у_{средняя.}

Выдвигаем гипотезу Н₀: а_х=а_у и конкурирующую гипотезу Н₁: а_х не равно а_у.

Требуется оценить нулевую гипотезу с уровнем значимости a.

Решение.

Построим К.

_n. _n .

S²_x=(å(x_i-x)²)/(n-1), S²_y=(å(y_i-y)²)/(n-1).

^{i=1 i=1}

Х – случайная величина, распределённая по нормальному закону с числовыми характеристиками (а_х, G/Ön). Y – случайная величина, распределённая по нормальному закону с числовыми характеристиками (а_y, G/Öm)

Оказывается случайная величина S²_x и S²_y имеют распределение c²(«хи-квадрат») со степенями свободы (n-1) и (m-1).

Введём случайную величину U=((n-1)S²_x)/G²+((m-1)S²_y)/G² имеет распределение c² с ч ис л о м степеней свободы n+m-2.

Случайная величина Х-У имеет нормальный закон распределения с характеристиками (а_х-а_у, ÖG²/n+G²/m^Ø)

Поэтому нормализированная случайная величина

U = (х-у)-(а_х-а_у)

ÖG²/n+G²/m^Ø

Имеет нормальное распределе н ие N (0,1), а отношение

V = (x- y) –(a_x-a_y).

ÖU/(m+n-2)^Ø sÖ1/m+1/n^ØÖ[(m-1)S²_x/s²+(n-1)S²_y/s²]_*1/(m+n-2)

имеет распределение Стьюдента с (m+n-2) степенями свободы. Таким образом можно найти Кнабл.

Кнабл. =(х-у)/Ö(1/m+1/n)_*[(m-1)S²_x+(n-1)S²_y]/(m+n-2)^Ø

Имеет распределение Стьдента с (m+n-2) степенями своды. Далеее вывод делается как в предыдудей задаче.

8. распределение l²

Распределение l² – закон распределения непрерывной случайной величины, плотность которой определяется формулой.

f _l² (x)= ì 1_* e^-x/2x^(k/2)-1, x>0

í2^k/2Г(k/2)

î0, x£0 _¥

чило к=n-1 - число степеней свободы. Г(х) – гамма-функция Г(х)=ò t^x-1e^-tdt

⁰

C увеличением степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному. Причём для f _l² (x) М{ }=n, D{ }=n²