Ряды с комплексными членами. (cо слов Гончаренко)

Комплексное число представляется в виде a+b_*i, где а – действительная часть числа, i – мнимая единица (поясняю: мнимая единица – единица, квадрат которой равен «-1»).

Если суммы действительных(Sа_n) и мнимых (Sb_ni) частей комплексных чисел сходятся, то сходится и весь ряд комплексных чисел. (аналогичны и остальные определения.)

7. Свойства правильно сходящихся рядов: непрерывность суммы ряда, почленное дифференцирование и интегрирование. (!!предполагается равномерно сход=правильно сход).

Функция S(x),хÎW является суммой ряда, если S(x) =lim _n→∞ S(x), где S(x)= f ₁(x)+ f ₂(x)+…+ fn (x)

Если S(x), х ÎL (LÍΩ) является суммой ряда f ₁(x)+ f ₂(x)+…+ fn (x)+…=_n=1∑ ^∞ fn (x) (функциональный ряд), то говорят, что рядсходится на множестве L функции S(x).

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве L к функции S(x), если для любого числа e>0 существует номер N такой, что при n³N cразу для всех хÎL выполняется неравенство ½S(x) -S n (x)½<e

Если функциональный ряд сходится на множестве L, то на этом множестве сходимость не обязана быть равномерной, однако на некотором подмножестве

множества L сходимость может оказаться уже равномерной.

Признак равномерной сходимости Вейерштрасса.

Если члены функционального ряда f ₁(x)+ f ₂(x)+…+ fn (x)+… удовлетворяют на множестве L неравенством ½ fn (x)½≤Сn (n=1,2…), где Сn – члены сходящегося числовогоряда С1+С2+…+ Сn+… то функциональный ряд сходится на множестве L равномерно.

Свойства:

Если функции fn (x) непрерывны на [a,b], составленный из них ряд f ₁(x)+ f ₂(x)+…+ fn (x)+…, то

1.Функция f (x) на [a,b] непрерывна

2. _a∫ ^b f (x)dx=. _a∫ ^b f ₁(x)dx+…+. _a∫ ^b fn (x) dx+…

Если fn (x) имеют непрерывную производную на [a,b] и на этом отрезке

а)ряд f ₁(x)+ f ₂(x)+…+ fn (x)+… сходится к f (x)

б)ряд f ₁ ' (x)+ f ₂ ' (x)+…+ fn' (x)+… сходится равномерно, то f (x) имеет на этом отрезке непрерывную производную f ' (x)= f ₁ ' (x)+ f ₂ ' (x)+…+ fn' (x)+…

 

Степенные ряды.

Опр. Выражение вида а0+а1х+а2х²+…+а_кх^к+…, (*)

где а0, а1,а2,… - некоторая числовая последовательность наз степенным рядом.

а0,а1,а2,…- коэффициенты степенного ряда.

Если х придавать числовые значения, то будем получать числ. Ряды, которые могут сходиться и расходиться. Множество Х, при которых ряд (*) сходится, называется областью сходимости.

Теорема Абеля.

1)Если ряд (*) сходится в некоторой точке х0≠0, то этот ряд будет сходится и при всех х, удовлетворяющих условию: |х|<|х0|.

2)Если ряд (*) расходится в т. х1≠0, то этот ряд расходится при всех x: |х|>|х1|.

Док-во.1). По усл степенной ряд а0+а1х₀+а2х₀²+…+а_кх₀^к+…(**) сходится, поэтому а_кх₀^к →0, при к→∞. Значит, сходящаяся последовательность {а_кх₀^к}

ограничена, т.е. сущ-т константа М такая, что |а_кх₀^к|<M для всех к=0,1,2…

Рассмотрим |а0|+|а1х₀|+|а2х₀²|+…+|а_кх₀^к|+….(***)

Пусть |х|<|х0|, тогда |а_кх^к|=|а_кх0^к||х/х0|<М|х/х0|^к, причем |х/х0|<1. Поэтому члены ряда (***) не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда

М+М|х/х0|+М|х/х0|²+…+М|х/х0|^к+…- суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Поэтому ряд (***) сходится, а ряд (**) сходится абсолютно.

2)Предположим, что ряд(**) расходится при х=х1, но для некоторого х:| х |>х1 По первой части теоремы ряд (**) сходится абсолютно при х=х1, следовательно получили противоречие.

Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости.

Для степенного ряда (*) возможны только следующие случаи:

1)ряд сходится только в т.х=0

2)ряд сходится при всех х

3)существует такое R>0, что ряд сходится в интервале (-R;R) и расходится вне отрезка [-R;R]. R- радиус сходимости степенного ряда

Теорема. Если существует предел D=lim|a_n+1/a_n| при n→∞, отличный от 0, то R степенного ряда а0+а1х+а2х²+…+а_nхⁿ+…равен:

R=1/D= lim|a_n/a_n-1| при n→∞.

Опр. Пусть ф-я f(x)=Σ_n=1^∞a_nx, то говорят, что ф-я разлагается в степенной ряд с обл. сходимости(-R;R)

Теоремы о св-вах степенных рядов.

1. Пусть ф-я f(x) разлагается на интервале (-R;R) в степенной ряд а0+а1х+а2х²+…+а_nхⁿ+…(1). Рассмотрим степенной ряд

а1+а2х+…+а_nх^n-1+…(2), полученный почленным дифференцированием ряда (1). Тогда: ряд (2) имеет тот же радиус сходимости R, Что и (1). На вем интервале (-R;R) ф-я f(x) имеет производную f(x)’, которая разлагается в степенной ряд (2).

2. Если ф-я f(x) разлагается на интервале (-R;R) в степенной ряд, то она интегрируема в этом интервале. Интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда.

Разложение ф-й в степенные ряды. Ряд Маклорена.

Предположим, что ф-я f(x) разлагается на отрезке [-r;r] в степенной ряд

f(x)=а0+а1х+а2х²+…+а_nхⁿ +…(1)

Найдем а0,а1,а2,…

f’(x)=а₁+2а₂х+3a₃х²…+…

f’’(x)=2а₂+6а₃х+4*3a₄х²…+…

…

f⁽ⁿ⁾(x)=n(n-1)(n-2)*…*1*a_n+… Полагая, что х=0, получим: f(0)=a₀, f’(0)=a₁ f’’(0)=2a₂,…, f⁽ⁿ⁾(0)=n!a _n

Имеем: a _n= f⁽ⁿ⁾(0)/n!

Опр. Пусть ф-я f(x) определена в некоторой окрестности точки х=0 и имеет в этой точке произволдные всех порядков. Степенной ряд f(0)+ (f’(0)/1!)x+ (f’’(0)/2!)x²+…+(f⁽ⁿ⁾⁽0)/n!)xⁿ наз рядом Маклорена для ф-и f(x).

Примеры разложений ф-й:

е^х=1+х+х²/2!+х³/3!+…+хⁿ/n!+… для всех х.

Sinx=x- х³/3!+х⁵/5!+…+(-1)ⁿх²ⁿ⁺¹/(2n+1)!+…

Cosx=1- х²/2!+х⁴/4!+…+(-1)ⁿх²ⁿ/(2n)!+…

Ln(1+x)= x- х²/2+х³/3-…+(-1)ⁿхⁿ⁺¹/(n+1)+…

Arctgx= x- х³/3+х⁵/5+…+(-1)ⁿх²ⁿ⁺¹/(2n+1)+…

(1+x)^a=1+(a/1)x+(a(a-1)/1*2)x²+…+(a(a-1)*…*(a-n+1)/n!)xⁿ+…

Ln(1+x)/(1-х)= 2(x+х³/3+х⁵/5+…)

1/1-х=1+х+х²+х³+…

1/1+х=1-х+х²-х³+…

Для натуральных а=м получим бином Ньютона:

(1+x)^м=1+(м/1)*x+(м(м-1)/1*2)x²+…

Ряд Тейлора.

Пусть ф-я f(x) определена в некоторой окрестности точки х=0 и имеет в этой точке произволдные всех порядков. Степенной ряд f(х0)+ (f’(х0)/1!)*(x-х0)+ (f’’(х0)/2!)*(x-х0)²+…+(f⁽ⁿ⁾(х0)/n!)*(x-х0)ⁿ+… называется рядом Тейлора с центром х0 джлдя ф-и f(x).

Теорема. Если ф-я разлагается в некоторой окрестности т. х0 по степеням х-х0, то он явл рядом Тейлора с центром х0.

Приложения степенных рядов.

^1. Вычисление значений показательной ф-и: пусть х=Е(х)+q, где Е(х)-целая часть числа х, q- дробная его часть, тогда е^х= е^Е(х)* е^q, гденаходят с помомощью умножения, а – с помощью разложения е^х=1+х+х²/2!+х³/3!+…+хⁿ/n!+…. При 0≤х<1, этот ряд быстро сходится, поскольку остаток ряда R_n(x) оценивается след образом:

0≤ R_n(x) <хⁿ⁺¹/n!n

2. Вычисление значений логарифмической ф-и: Ln(1+x)= x- х²/2+х³/3-…+(-1)ⁿхⁿ⁺¹/(n+1)+…

Заменим х на –х: Ln(1-x)= -x- х²/2-х³/3-…+-хⁿ⁺¹/(n+1)-… вычитая из первого равенства второе получим: Ln(1+x)/(1-х)= 2(x+х³/3+х⁵/5+…), где |х|<1.

3. Вычисление значений синуса и косинуса:

Sinx=x- х³/3!+х⁵/5!+…+(-1)ⁿх²ⁿ⁺¹/(2n+1)!+…

Cosx=1- х²/2!+х⁴/4!+…+(-1)ⁿх²ⁿ/(2n)!+…

Ряды при больших х сходятся медленно. Но, учитывая периодичность ф-й синуса и косинуса и формулы приведения тригонометрич. Ф-й, достаточно уметь вычислять sinx, cosx для промежутка 0≤х ≤ π/4.

4. Разложение ф-й в степенные ряды исп-ся для приближенного нахождения интегралов, а также при решении дифференциальных уравнений.