Производственные функции и функции полезности. Изокосты, изокванты и линии безразличия.

Производственные ф-и – экономико-математическое уравнение, связывающее переменные величины затрат (ресурсов) с величинами продукции (выпуска). ПФ может устанавливать зависимость объема продукции от наличия или потребления ресурсов – ф-я выпуска, наряду с которыми исп-ся как бы обратные к ним ф-и зависимости затрат рес-в от объемов выпуска продукции. Частными случаями ПФ. Явл. ф-я издержек (связь объема продукции и издержек пр-ва), ф-я капитальных затрат (завис-ть капиталовложений от производственной мощности предприятия). Наиболее важные из мат. Форм ПФ:

Линейная ПФ: Р=а₁х₁+а₂х₂+…+а_nx_n, где а_1, а_2,…. - факторы пр-ва.

Ф-я Кобба-Дугласа: N=A*L^α*K^β, где N- национальный доход страны, L и K- соответственно объемы приложенного труда и капитала.

Ф-я CES: P=A[(1-a)K^-b +aL^-b] ^{-c/ b}

Ф-я полезности показывает зависимость эффекта некоторого действия от интенсивности этого дей-я. Общий вид: u=u(x₁,…x_n), x₁,…x_n- факторы, влияющие на полезность u. ФП может служить моделью поведения потребителей благ и услуг в обществе и рассматриваться как целевая ф-я потребления: v=v(с₁,…с_m), с₁,…- количества благ. Потребители стремятся максимизировать эту ф-ю. Мат. Св-во ф-и: она должна иметь положительную первую производную, что означает: при увеличении объема благ увеличивается и полезность. Выбирая между разными наборами благ потребитель предпочтет те, чья полезность больше, поэтому ФП часто наз ф-й предпочтений.

Изокосты – геометрическое место точек (в пространстве ресурсов), для которых издержки пр-ва постоянны. В случае двух видов затрат И. Представляют собой параллельные прямые с наклоном, который равен отношению цен к затратам каждого вида (взятому с отрицательным знаком), что вытекает из формулы издержек: С=р₁х₁+р₂х₂, р1,р2 – цены, х1,х2 – объемы затрат каждого вида.

Х₂

 

1 2 Х₁

Изокванта – геометрическое место точек, в которых разные сочетания факторов пр-ва (ресурсов) дают одно и то же кол-во выпускаемой продукции. Кривизна И. Характеризует эластичность замещения между затратами этих факторов.

Вид изокванты для двух видов взаимозаменяемых ресурсов:

 

Х₂ q₁

Х₂² q₂

Х₂¹ q₁

 

 

Осн. Св-ва:

1) Никогда не пересекаются друг с другом

2) Большему выпуску продукции соответствует более удаленная от начала координат изокванта

3) Если все ресурсы абсолютно необходимы для произ-ва, то И. Не имеют общих точек с осями координат,

4) При увеличении затрат одного ресурса объем произ-ва можно сохранить на том же уровне при уменьшении затрат др. рес.

В случае отсутствия возможности замены рес-в И. Приобретают вид (рис. 1) при постоянном соотношении затрат и при изменяющемся соотношении затрат (рис.2)

Х2 Х2

 

 

Х1 Х1

Рис.1 Рис2

 

 

Кривые безразличия – геометрическое место точек (пространства товаров), характеризующихся состоянием безразличия с точки зрения потребителя или производителя. Это графическая иллюстрация взаимозаменяемости товаров. Применяется для анализа спрса и потребления, а также др. эк. Явлений.

Отложим по оси 0Х кол-во 1-го блага, ОУ-другого. Кривая безразличия соединяет все толчки, отражающие такие комбинации, что покупателю безразлично, что покупать.

Если построить много кривых безразличия, то получится карта безразличия.

Св-ва:

1) К.Б. имеют отрицат. Наклон, крутизна которого показывает предельную норму замещения 1-го товара дру-гим.

2) Кривые никогда не пересекаются

3) Кривые выпуклы к началу координат (их абсолютный наклон уменьшается при движении по ним вправо).

У c

y₁

У₂ А

Y3

Х1 Х₂ Х₃ Х

 

Неявные функции

Пусть переменная u, является функцией переменных х₁, х₂,…, х_n, задается посредством функционального уравнения F (х₁, х₂,…, х_n, u) = 0. В этом случае говорят, что u как функция аргументов х₁, х₂,…, х_n задана неявно, а саму функцию u называют неявной функцией. Неявные функции могут задаваться и посредством системы функциональных уравнений.

Производная функции y = y(x), заданной неявно уравнением F(x,y) = 0, где F(x, y) – диффиренцируемая функция переменных x и y, может быть вычислена по формуле: y’ = - F’x / F’y

При условии, что F’y ≠ 0.

Аналогично частные производные неявной функции двух переменных u = (х₁, х₂), заданной с помощью уравнения F(х₁, х₂, u) = 0, где F(х₁, х₂, u) – дифференцируемая функция переменных х₁, х₂, u могут быть вычислены по формулам: ∂u / ∂x₁ = - F’x₁ / F’u, ∂u / ∂x₂ = - F’x₂ / F’u.