Основные элементарные функции.

Функция, ОДЗ

Пусть заданы 2 множества Х,У функцией или отображением из Х в У называется правило, по которому каждому значению их Х ставится в соотвествие значение из У.

Числовые функции характеризуются тем, что оба множества Х и У являются подмножествами множества действительных чисел (или совпадают с ними). Область определения функции - множество возможных значений, которые может принимать аргумент.

Графиком функции с областью определения называется множетсво точек Г={(x,f(x)|xÎX}.

Свойства функции.

1. Чётность. Если облать определения функции симметричня относительно нуля и f(-x)=f(x) "xÎD(f), то функция у=f(x) называется чётной. Если

f(-x)= - f(x) "xÎD(f), то функция у=f(x) называется нечётной. Если не выполняется ни первое, ни второе условие, то функция обшего вида.

2. Монотонность. функция у=f(x) – возрастающая, если для любого х₁ и х₂ из области определения функции (х₁<х₂) выполняется неравенство f(x₁)<f(x₂)

Функция у=f(x) – убывающая, если для любого х₁ и х₂ из области определения функции (х₁>х₂) выполняется неравенство f(x₁)>f(x₂).

Возрастающие или убывающие функции называются монотонными.

3. Ограниченность. Функция у=f(x) называется ограниченной на некотором промежутке, если существует М>0, MÎR|"xÎданному промежутку |f(x)|£M.

Функция у=f(x) называется ограниченной снизу, если существует mÎR |"xÎданному промежутку m£f(x). Функция у=f(x) называется ограниченной сверху, если существует mÎR |"xÎданному промежутку m³f(x).

4. Периодичность. Функция у=f(x) называется периодической с периодом Т не равным нулю, если выволняется условие f(x+ - T)=f(x).

 

Обратная функция.

Пусть Функция у=f(x) задана на множестве Х=D(f) и Y=E(f). Предположим, что различным значениям х₁ и х₂ соответствуют различные значения функции f(x₁) и f(x₂). Тогда для любого уÎУ мы сможем поставить в соответсвие хÎХ| y=f(x). Получает отображение f^-1: У®Х. Это отображение называется обратным. График прямой и обратной функции симметричен относительно биссектрисы первой и третьей координатной четверти.

Сложная функция.

Пусть заданы две функции t=h(x), [xÎD(h), T=E(h)] и y=g(t), [tÎT=D(g), Y=E(g)] (область определения одной функции совпадает с областью значений другой функции и наоборот) Тогда справедливо следующее правило: из любого хÎХ по правилу ставится в соответствие y=g(h(x)). Это правило называется сложной функцией.

 

Основные элементарные функции.

1. Степенная. y=x^a, a=const, aÎR. D(f)=(0;+¥). Если aÎNÞD(f)=R.

2. Показательная. y=a^x, a>0,a не равно 1. D(f)=R/ E(f)=(0;+¥). Если a>1, следовательно, функция возрастает. Если аÎ(0;1), функция убывает.

3. Логарифмическая. y=log_ax, a>0, a не равно 1. D(f)=(0;+¥), E(f)=R. Если a>1, следовательно, функция возрастает. Если аÎ(0;1), функция убывает.

4. Тригонометрические.

5. Обратные тригонометрические.

 

Предел функции

Опр. Пределом функции у= f (x) в точке х₀ (или при х →х₀)называют число а, если для любой последовательности { х_n} значений аргумента, сходящейся к (при этом все х_n≠ х₀) последовательность значений функции сходится к пределу а. Это записывают в виде:

 

(*)

Аналогично определяеся предел при х →∞ (случаи когда х₀ есть +∞ или -∞). А именно, равенство (*) во всех случаях означает следующее: для любой последовательности { х_n}, сходящейся к х₀, соответствующая последовательность { f (х_n)} сходится к а.

 

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Опр. Функция f (x) наз.бесконечно малой при х →х_0, если

и бесконечно большой при х →х₀, если

Справедливы теоремы. 1.Сумма и произведение двух бесконечно малых функций (при х →х₀) снова являются бесконечно малыми функциями (при х →х₀).

Произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть снова бесконечно малая функция.

Свойства предела функции.

1. Функция f (x) в точке х₀ может иметь только один предел.

Доказательство: Пусть (1)

и одновременно

где a≠b. (2)

 

Тогда для любой последовательности { х_n} сходящейся к х₀ (где все х_n≠ х₀), мы должны иметь два предела

 

что невозможно, т.к. последовательность { f (х_n)} может иметь только один предел.

2.Если f (x) имеет предел в точке, то в некоторой окрестности этой точки функция ограничена.

Доказательство. Предположим, что это не так. U₁=(х₀-ε; х₀+ε), ε>0. Ввиду неограниченности f (x) в этой окрестности должна найтись точка х₁Î U₁, такая что │ f (х₁)│>1. Уменьшим вдвое эту окрестность и рассмотрим U₂=(х₀-ε/2; х₀+ε/2), ε>0 окрестность, в ней снова найдется такая точка х₂Î U₂, такая что │ f (х₂)│>2. Продолжив это рассуждение, получим U_n=(х₀-ε/n; х₀+ε/n), f (х_n) > n, х_n → х₀; f (х_n)→∞. мы пришли к противоречию.

3.Если для всех точек х некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство f (x) ≥b, то и если такой предел существует. (доказывается по соответствующему свойству предела числовой последовательности).

4.Если в некоторой окрестности точки х₀ имеем f (x)≥g(x), то и если пределы существуют.

5. Если в некоторой окрестности точки х₀ имеем f (x)≥g(x)≥h(x) причем пределы f (x) и h(x) при х→ х₀ существуют и равны между собой

 

 

Односторонние пределы.

Опр.Число а называют пределом функции f (x)в точке х₀ справа, если для любой сходящейся к х₀ последовательности {х_n}, в которой все х_n>х₀, соответствующая последовательность {f(х_n)} сходится к а.

Аналогично определяют предел функции слева:

Асимптоты функций.

Прямая у=а называется вертикальной асимптотой графика у= f (x), если хотя бы один из пределов

 

Прямая у=кх+b является наклонной асимптотой графика у= f (x) при х→+∞, если f (x) представима в виде f (x)= кх+b+α(х), где

 

Теорема. Для того чтобы график функции у= f (x) имел х→+∞ наклонную асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

Аналогично определяется наклонная асимптота для случая х→-∞.

 

Монотонные функции.

Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором множестве Х принадл. R¹, если она определена на этом множестве и если для любых значений х1, х2, принадлежащим Х, из условия х1<х2 следует нер-во:

f(x1)<f(x2) (f(x1) >f(x2))

Функция y=f(x) называется неубывающей (невозрастающей) на некотором множестве Х принадл. R¹, если она определена на этом множестве и если для любых значений х1, х2 принадлежащим Х из условия х1<х2 следует нер-во:

f(x1)≤f(x2) (f(x1) ≥f(x2))

Невозрастающие, неубывающие, возрастающие и убывающие ф-и наз. Монотонными.

Замечательные пределы.

1) lim f(x)sinx/x =1(при х→0) – первый замечательный предел.

Док-во. Т.к. ф-я y= sinx – четная, то достаточно показать, что предел при х→0 справа равен 1.

T

M

tgx

 

x

K A

O

MK= sinx Видно, что sinx<x<tgx,

1<x/ sinx<1/cosx

1>sinx/x>cosx

при х→0 справа имеем lim cosx=1, lim 1=1. Значит получили требуемое равенство.

2) lim (1+1/x)^x =e(х→+ (-)∞) – второй замечательный предел.

Док-во.

Докажем

1)при +∞. Пусть х – любое число. Найдем такое целое n, чтобы выполнялось нер-во:

n ≤ x< n+1 (1)

Будем считать, что х>1,n>0. Сделав необходимые преобразования, получим: 1+1/ n ≥ 1+1/x> 1+1/(n+1)

Зная условие (1), можем получить: (1+1/ n)ⁿ⁺¹≥ (1+1/x)^x> (1+1/(n+1))ⁿ или f(x) ≥(1+1/x)^x>g(x). При х→+∞,n →+∞, f(x) и g(x)→е. По св- ву предела ф-и lim (1+1/x)^x →е(при х→+∞), что и т.д.

2) при -∞. Пу сть х=-t, где t>0.

(1+1/x)^x=(1-1/t)-^t =((t-1)/t)^-t =(t/(t-1))^t =(1+1/(t-1))^t =(1+1/(t-1))^t-1 (1+1/(t-1))^x Выражение в правой части →е*1=е при х→-∞, т.е. t →+∞, что и т.д.

Уравнение касательной.

Найдем ур-е касательной к графику Г ф-и y=f(x) в точке А(х0, f(x0)): т.к. т. А принадлежит Г и ур-ю касательной, то f(x0)=kx0+b, откуда b= f(x0)-kx0, значит, касательная задается след. Ур-м:

y= kx+ f(x0)-kx0= f(x0)+k(х-x0)

Т.к. k= f′(x0), то

y=f(x0)+ f′(x0)(х-х0).

Односторонние производные.

Правой(левой) производной от y=f(x) в точке x₀ называется предел f′(x0)=lim (f(x+Δx)-f(x0))/Δх при Δх→0+0(Δх→0-0).

Если левая и правая производные функции в точке x₀ сущ-т, и они равны, то производная f′(x0) сущ-т и равна им. Если же левая и правая производные функции в точке x₀ не равны, то y=f(x) не имеет производной в точке x_0.

Правила дифференцирования

Теорема. Если функции u=f(x), v=g(x) дифференцируемы в точке х0, то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в точке ч0 и выполняются следующие формулы:

(U+(-)v)′=u’+(-)v’

(uv)’= u’v + uv’

(u/v)’= (u’v - uv’)/v²

Приближенные вычисления.

D f (x₀)»f '(x₀) Dx

f (x₀₊Dx)- f (x₀)» f '(x₀) Dx Dx®0

f (x₀₊Dx)= f (x₀)+ f '(x₀) Dx

 

Формула Тейлора.

Пусть функция f(x) имеет n производных в точке x₀. Многочлен

T(x) = f(x₀) + ((f’(x₀))/1!)(x – x₀)¹ + (f ”(x₀))/2!(x – x₀)² +…+ (f ⁽ⁿ⁾(x₀))/n!(x – x₀)ⁿ

Называется n-м многочленом Тейлора функции f(x) в точке x₀.

Пусть функция f(x) имеет в ε – окрестности точки x₀ (n + 1) производных. Тогда для любой точки х из этой окрестности найдется точка с, расположенная между точками х и х₀, для которой выполняется следующая формула

F(x) = T(x) + (f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) / (n + 1)!)(x – x₀)ⁿ⁺¹ – формула Тейлора,

где Т(x) – n-й многочлен Тейлора функции f(x) в точке х₀,

r_n(x) = (f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) / (n + 1)!)(x – x₀)ⁿ⁺¹ – остаточный член в формуле Лагранжа.

Предположим, что (n+1)-я производная функция f(x) ограничена в окрестности точки х₀. Тогда r_n(x) является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х-х₀)ⁿ при х ® х₀. (lim (r_n(x)/(х-х₀)ⁿ) = lim [((f⁽ⁿ⁺¹⁾(c))/(n+1)!)(x-x₀)] = 0 – в силу

^{Х®Хо Х®Хо}

Ограниченности f⁽ⁿ⁺¹⁾ (c) в окрестности х₀.) Следовательно ошибка в приближенном равенстве f(x)» T_n(x) (*) также является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х – х₀)ⁿ, когда х ® х₀.

Формула (*) применяется для приближенных вычислений.

Используя равенство (*) можно подучить, например следующие формулы (при х®0):

1) (1+x)^a» 1 + (a/1!)x + (a(a-1)/2!)x² +…+ (a(a-1)…(a-n+1)/n!)xⁿ,

2) e^x» 1 + x/1! + x²/2! +…+ xⁿ/n!,

3) ln(1+x)» x – x²/2 + x³/3 – x⁴/4 +…+(-1)ⁿ⁺¹xⁿ/n

4) sin x» x – x³/3! + x⁵/5! – x⁷/7! +…+(-1)^kx^2k+1/(2k+1)!,

5) cos x» 1 – x²/2! + x⁴/4! – x⁶/6! +…+(-1)^kx^2k/(2k)!,

где в каждом случае ошибка является бесконечно малой относительно хⁿ.

 

 

Условия сущ. экстремула

Необходимое условие существования экстремума. Для того, чтобы дифференцируемая функция f(x) имела в точке х₀ локальный экстремум, необходимо, чтобы в этой точке выполнялось равенство f¢(x₀)=0.

Доказательство.

Поскольку х₀ – точка экстремума, то существует такой интервал (х₀-e, х₀+e), на котором f(x₀) – наибольшее или наименьшее значение. Тогда по теореме Ферма f¢(x₀)=0.

Точки, в которых производная функция обращается в нуль, называются стационарными.

Достаточное условие существование экстремума. Если при переходе через точку х₀ производная дифференцируемой функции f(x) меняет свой знак с плюса на минус, то точка х₀ – точка локального максимума функции f(x), а если с минуса на плюс, то х₀ – точка локального минимума.

Доказательство. (для максимума, для минимума – аналогично, то бишь самостоятельно)

Пусть f(x) – непрерывная дифференцируемая функция. f¢(x) меняет знак с «+» на «-». Пусть для любого хÎ (х₀ -D, х₀] f¢(x)>0 Þ по достаточному условию монотонности производная возрастает на данном интервале Þ f(x₀)³f(x) "CÎ(x₀-D, x₀]

Пусть для "CÎ[х₀,х₀+D) f¢(x)<0, следовательно, функция убывает на хÎ[х₀,х₀+D) Þf(x₀)³f(x) для любого хÎ[х₀,х₀+D).

Вывод: для любого х Î (х₀-D, х₀+D) х₀ – точка максимума для функции у=f(x). Ч.т.д.

Теорема Ферма

Пусть ф-я у = f(x) определена в некотором промежутке [a;b] и во внутренней точке этого промежутка спринимает наибольшее или наименьшее значение. Если в этой точке существует конечная производная, то она = 0.

С ¹ a, с ¹ b, f(c) – max. Докажем, что f'(c) = 0.

Т.к. f(c) - max, то для всех точек f(x) £ f(c) при xÎ[a;b]

f(x) - f(c) £ 0

Т.к. по условию теоремы в точке с ф-я f имеет производную, то можно рассмотреть производную f'(c) = lim (f(x)-f(c))/(x-c)

1) x-c < 0 f’(c)³ 0ü Þ f’(c) = 0

2) x-c > 0 f’(c)£ 0þ

Теорема Ролля

Эта теорема позволяет отыскать критические точки, а затем с помощью достаточных условий исследовать ф-ю на экстремумы.

Пусть 1) ф-я f(x) определена и непрерывна на некотором замкнутом промежутке [a;b]; 2) существует конечная производная, по крайней мере, в открытом промежутке (a;b); 3) на концах промежутка ф-я принимает равные значения f(a) = f(b). Тогда между точками a и b найдется такая точка с, что производная в этой точке будет = 0.

Док-во:

По теореме о свойстве ф-ий, непрерывных на отрезке, ф-я f(x) принимает на этом отрезке свое max и min значение.

f(x₁) = M – max, f(x₂) = m – min; x₁;x₂ Î [a;b]

1) Пусть M = m, т.е. m £ f(x) £ M

Þ ф-я f(x) будет принимать на интервале от a до b постоянные значения, а Þ ее производная будет равна нулю. f’(x)=0

2) Пусть M>m

Т.к. по условиям теоремы f(a) = f(b) Þ свое наименьшее или наибольшее значение ф-я будет принимать не на концах отрезка, а Þ будет принимать M или m во внутренней точке этого отрезка. Тогда по теореме Ферма f’(c)=0.

Теорема Лагранжа

Пусть 1) ф-я f(x) определена и непрерывна на интервале [a;b]

2) Существует конечная производная, по крайней мере, в открытом интервале (a;b).

Тогда между a и b найдется такая точка с, что для нее выполняется следующее равенство: (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(c), a < c< b

Док-во:

Введем вспомогательную ф-ю F(x).

F(x) = f(x) - f(a) - [(f(b)-f(a))/(b-a)]*(x-a)

Эта ф-я удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

1) она непрерывна как разность между непрерывной и линейной функциями;

2) в открытом интервале (a;b) существует конечная производная этой ф-ии.

F’(x) = f’(x) - (f(b)-f(a))/(b-a)

3) на концах промежутка в точках a и b эта ф-я равна 0

F(a) = f(a) - f(a) - (f(b)-f(a))/(b-a)*(а - а) = 0

F(b) = f(b) - f(a) - (f(b)-f(a))/(b-a)*(b-a) = 0

Þ производная в какой-либо внутренней точке с равна 0. F’(с) = 0

f’(c) - (f(b)-f(a))/(b-a) = 0, отсюда

f’(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)

Геометрическое истолкование

CB/AC = (f(b)-f(a))/(b-a)

На дуге АВ найдется по крайней мере одна точка М, в которой касательная || хорде АВ.

Первообразная.

Ф-я F(x) называется первообразной ф-и f(x) на множестве D, если для любого х из D:F’(x)=f(x).

Если F(x) первообрзная ф-и f(x) на мн-ве D, то любую другую первообразную этой ф-и можно получить по формуле: Ф(х)=F(x)+c при некотором значение с.

Док-во. Пусть F(x) – первообразная f(x), x принадлежит D: F’(x)=f(x).

Пусть Ф(х) – другая первообразная f(x), x принадл. D: Ф’(x)=f(x).

Составим ф-ю φ(х)=Ф(х)-F(х) – дифференцируема на мн-ве D → φ'(х)= Ф’(х)-F’(х)=f(x)-f(x)=0. По св-м ф-и, дифференцируемой на D → φ(х)=соnst.=c → Ф(х)-F(х)=с=const → Ф(х)=F(х)+с, что и т.д.

Табличные интегралы.

Таблица интегралов

1) ∫ 0 dx = C = const 11) ∫dx/(√1-x² )= arcsin x + C = - arccos x + C

2) ∫dx = x + C 12) ∫dx/(1+x²) = arctg x + C = - arcctg x + C

3) ∫x^adx = x^a+1/(a+1) + C, 13) ∫tgxdx = - ln |cosx| + C

a≠ -1 14) ∫ctgxdx = ln |sinx| + C

4) ∫dx/x = ln|x| + C 15) ∫ dx/(√a²- x²)=arcsinx/a +C=-arccos x/a + C

5) ∫e^xdx = e^x + C 16) ∫dx/(a²+x²) = (1/a)arctg x/a + C=-(1/a)arcctg x/a + C

6) ∫a^xdx = a^x/lnx + C 17) ∫dx/(x²–a²) = (1/2a) ln |(x-a)/(x+a)| + C

7) ∫cosx dx = sinx + C 18) ∫dx/(a²-x²) = (1/2a) ln |(x+a)/(x-a)| + C

8) ∫sinxdx = - cosx + C 19) ∫dx/(√x²+A) = ln |x + (√x²+A)| + C

9) ∫dx/cos²x = tgx + C

20) ∫(√x²+A)dx = (x/2)(√x²+A) + (A/2) ln |x+(√x²+A)|+C

10) ∫dx/sin²x = - ctgx + C

21) ∫ (√a²- x²)dx = (a²/2) arcsin x/a + (x/2) (√a²- x²) + C

Неявные функции

Пусть переменная u, является функцией переменных х₁, х₂,…, х_n, задается посредством функционального уравнения F (х₁, х₂,…, х_n, u) = 0. В этом случае говорят, что u как функция аргументов х₁, х₂,…, х_n задана неявно, а саму функцию u называют неявной функцией. Неявные функции могут задаваться и посредством системы функциональных уравнений.

Производная функции y = y(x), заданной неявно уравнением F(x,y) = 0, где F(x, y) – диффиренцируемая функция переменных x и y, может быть вычислена по формуле: y’ = - F’x / F’y

При условии, что F’y ≠ 0.

Аналогично частные производные неявной функции двух переменных u = (х₁, х₂), заданной с помощью уравнения F(х₁, х₂, u) = 0, где F(х₁, х₂, u) – дифференцируемая функция переменных х₁, х₂, u могут быть вычислены по формулам: ∂u / ∂x₁ = - F’x₁ / F’u, ∂u / ∂x₂ = - F’x₂ / F’u.

Метод наименьших квадратов.

(рассмотрим для двух величин, остальные аналогично0Пусть (Х,У) – система двух случайных величин. Задача – исследовать связь между Х и У.

М(У/Х=х) – условные математические ожидания случайной величины У при условии, что Х=х (х – фиксированное число) М(У/Х=х)=f(x). Уравнение y=f(x) называется уравнением регрессии СВ У на СВ Ч. Будем приближать функцию y=f(x) к прямой y=kx+b, т.е. попытаемся подобрать k,b так, чтобы y=kx+b как можно лучше апроксимировать функцию y=f(x). В качестве прямой y=kx+b предлагается выбрать ту, на которую лучше всего «ложаться» экспериментальные точки. у₁=kx₁+b Þ Е²₁= (y₁-(kx₁+b))² характеризует степень удалённости точки (х₁,у₁) от прямой y=kx+b Е²₂= (y₂-(kx₂+b))² и т.д. Естественный критерий, характеризующий близость всей совокупности точек к прямой y=kx+b К=åⁿ_i=1E²_i. К=к(к,b) – функция двух переменных. Найдём такие к^*,b^*, которые минимизируют значение К.

К(к,b)= åⁿ_i=1(y_i-(kx_i+b))² Необходимое условие экстремума. DК/Dк=0; DК/Db=0

DК/Dк=åⁿ_i=12(y_i-(kx_i+b))(-х_i)=0

kåⁿ_i=1 х_i²+båⁿ_i=1 х_i =åⁿ_i=1 х_i y_i;

DК/Db=åⁿ_i=12(y_i-(kx_i+b))(-1)=0

åⁿ_i=1 y_i -kåⁿ_i=1 х_i-nb=0.

_í^ì kåⁿ_i=1 х_i²+båⁿ_i=1 х_i =åⁿ_i=1 х_i y_i

î kåⁿ_i=1 х_i+nb=åⁿ_i=1 y_i

cистема двух линейных уравнений с двумя неизвестными к и b.

12. Выпуклые функции в Rⁿ и их свойства.

Отрезок в Rⁿ с концами a, b Î Rⁿ – это множество точек

х (t)= (1-t) a + t b,

где t произвольное число из промежутка [0; 1]. Отрезок с концами a, b обозначается [ a, b ]. Отрезок [ a, b ] совпадает с множеством точек в Rⁿ, представимых в виде с = aа + bb, где a,b - произвольные неотрицательные числа такие, что a+b=1. Множество Р Ì Rⁿ называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками a, bÎР оно содержит и весь отрезок [ a, b ]. Функция n переменных f (х), определенная на выпуклом множестве РÌRⁿ, называется выпуклой, если для любых двух точек a, b Î Р и любых двух чисел a,bÎ[0; 1] таких, что a+b=1, выполняется неравенство

f (aа + bb) ≤ a f (а) + b f (b)

Для непрерывной функции, заданной на выпуклом множестве Р, следующие условия равносильны:

1) f выпукла;

 

 

 

 

Неравенство из пункта 4 называется неравенством Йесена. выпуклая функция наз. строго выпуклой, если неравенство f (aа + bb) ≤ a f (а) + b f (b) строгое при всех a, b из области определения функции и α,β ≥0 таких, что α+β=1.

Функция f наз. (строго) вогнутой, если –f (строго) выпукла, т.е.

f (aа + bb) ≥ a f (а) + b f (b)

Линейная функция f(x)=(c,x)+c₀ одновременно выпукла и вогнута, но не строго.

Свойства выпуклых функций.

1. функция с выпуклой областью определения Р Ì Rⁿ выпукла тогда и только тогда, когда выпукло множество Н_f ={(х,у):хÎР, у≥ f (x)} (из Rⁿ⁺¹) называемое надграфиком функции f (x).

2. Если f (x) выпукла, то функция α f (x) выпукла при α>0 и вогнута при α<0.

3. Если f (x) выпукла на Р, то множество U_f (α)={х: f (x) ≤ α} выпукло при любом α. (обратное утверждение неверно).

4. Сумма любого числа выпуклых функций на множестве Р Ì Rⁿ выпуклана Р, если при этом хотя бы одна из суммируемых функций строго выпукла, то вся сумма строго выпукла.

5. Пусть Р Ì Rⁿ – выпуклое множество, и для каждого i=1,2,…k пусть l _i(x) – линейная функция n переменных, а f_i (t) – функция одной переменной, выпуклая на l _i(Р). Тогда функция F(х)=f₁ (l ₁(x))+…+ f_К (l _К(x)) выпукла на Р. При этом, если все функции f_i (t) строго выпуклы и любая точка однозначно определяется набором (l ₁(а)+…+ l _К(а)), то F(х) строго выпукла.

6. Пусть f выпукла на Р Ì Rⁿ , а φ(t) – возрастающая выпуклая функция на множестве f (Р) ÌR, тогда F(х)= φ(f(x)) выпукла на Р. Если f (x) строго выпукла, то и F(х) строго выпукла.

7. Дифференциируемая функция f (x) выпукла на множестве Р Ì Rⁿ тогда и только тогда, когда (grad f (a), b-a) ≤ f (b)- f (a) для любых a,bÎР

8. Пусть f (x) – функция, непрерывная на отрезке [ a, b ]ÌR и дважды дифференциируемая на (a, b). Для выпуклости функции f (x) на [ a, b ] необходимо и достаточно выполнение неравенства f˝ (x)≥0 для всех tÎ (a, b). Для строгой выпуклости f (x) добавляется условие f˝ (x)≠0 ни на одном интервале, содержащемся в (a, b).

9. Пусть D – выпуклое открытое множество в пространстве Rⁿ, f (x)= f (x₁,…,х_n) – функция, имеющая в D непрерывные частные производные второго порядка. Для каждой точки хÎ D положим

 

 

и составим матрицу

C=Cij(X). Функция f (x) строго выпукла на множестве D, если в каждой точке хÎ D выполняются следующие неравенства

∆₁=с₁₁>0, …, ∆_n=det c>0

Опр.

1). Суммой этих рядов наз ряд. Каждый член которого равен сумме соответствующих членов рядов (1) и (2).

2) Ряд, каждый член которого равен произведению соответствующего члена ряда (1) на одно и то же действительное число, наз произведением ряда на действительное число λ.

Св-ва.

1)Если ряд (2) сходится, и его сумма равна S, тогда произведение этого ряда на действительное число также сходится, и его сумма будет равна λS.

Док-во: Пусть Sk- частичная сумма ряда (2), sk - частичная сумма ряда λ в1+ λ в2+…+λ вк +…, ясно, что λ Sk = sk. Переходя к пределу, получим:

Lim sk=lim λSk= λlimSk= λS(k→∞)

2)Если ряды (1) и (2) сходятся, и их суммы соответственно равны S, S’, то ряд из определения 1) (назовем его (3)) также сходится, а его сумма будет равна S+S’.

Док-во: Qk=Sk+Tk, где Qk, Sk,Tk – сответственно частич суммы рядо (1), (2), (3). Переходя к пределу при k→∞, получаем, что сущ-т LimQk и Q=S+T

3)Если ряд сходится, то ряд, полученный из данного путем отбрасывания или приписывания конечного числа членов также сходится.

Док-во: Рассмотрим, когда отбрасывают первые n членов. Оставшийся ряд аn+1 +аn+2+… наз остатком исходного ряда (1). Пусть Сn- сумма первых n членов, Sk -частичная сумма исх. Ряда,S’k - частичная сумма остатка, при k>n:

Sk = Cn+S’k

Если сущ-т предел lim Sk k→∞, то сущ-т и предел lim S’k и наоборот. В частности, выполняется равенство: S=S’+Cn

4)Если ряд (1) сходится, то сходится и любой ряд. Полученный из него группировкой слагаемых, причем суммы обоих рядов одинаковы.

Необходимое усл-е сходимости.

Теорема. Если ряд (1) сходится, то предел его общего члена при к →∞ равен 0. lim ak=0

Док-во.

1){Sk=a1+a2+…+ak

{Sk-1=a1+a2+…+ak-1, значит ак=Sk-Sk-1

2)Поскольку ряд сходится, то lim Sk = S, k→∞

3) k→∞: lim ak= lim Sk- lim Sk-1 = S- lim Sk-1= S-S=0 ((k-1)→∞)

Следствие: если lim ak≠0 или не сущ-т, то ряд расходится.

Сформулированный признак явл. необходимым усл-м и не явл достаточным, чтобы ряд сходился.

Признаки сравнения

Пусть заданы два положительных числовых ряда:

u₁ + u₂ + … + u_n + = _n=1S^¥ u_n, u_n > 0 для " n

v₁ + v₂ + … + v_n + = _n=1S^¥ v_n, v_n > 0 для " n

1) Если "n Î N: u_n £ v_n и ряд _n=1S^¥ v_n – сходится, то и ряд _n=1S^¥ u_{n –} сходится.

Если "n Î N: u_n £ v_n и ряд _n=1S^¥ u_n – расходится, то и ряд _n=1S^¥ v_{n –} расходится.

2) Если $ lim u_n/v_n = k, то ряды либо одновременно сходятся, либо

^{n ® ¥ k = const}

одновременно расходятся.

 

Признак сходимости Даламбера.

Если _n=1S^¥ u_n – положительный ряд, для которого lim u_n+1/u_n = L, то

^{n ® ¥}

1) при L < 1 ряд сходится

2) при L > 1 ряд расходится

3) при L = 1 необходимы дополнительные исследования.

 

Интегральный признак сходимости.

Теорема. Пусть _n=1S^¥u_n - положительный ряд, для которого 1) u_n= f(n); 2) y = f(x) определена для " x ³ 1, непрерывна и возрастает, тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл ₁∫^+¥f(x)dx, причем если он сходится, то

_n=1S^¥ u_n = ₁∫^+¥f(x)dx

Условно сходящиеся ряды.

Ряд а₁+а₂+…+а_n+… называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

(теорема Римана. Если ряд сходится условно, то в результате перестаноски его членов можно получить ряд, имеющий любую сумму, а также расходящийся ряд.)

 

Степенные ряды.

Опр. Выражение вида а0+а1х+а2х²+…+а_кх^к+…, (*)

где а0, а1,а2,… - некоторая числовая последовательность наз степенным рядом.

а0,а1,а2,…- коэффициенты степенного ряда.

Если х придавать числовые значения, то будем получать числ. Ряды, которые могут сходиться и расходиться. Множество Х, при которых ряд (*) сходится, называется областью сходимости.

Теорема Абеля.

1)Если ряд (*) сходится в некоторой точке х0≠0, то этот ряд будет сходится и при всех х, удовлетворяющих условию: |х|<|х0|.

2)Если ряд (*) расходится в т. х1≠0, то этот ряд расходится при всех x: |х|>|х1|.

Док-во.1). По усл степенной ряд а0+а1х₀+а2х₀²+…+а_кх₀^к+…(**) сходится, поэтому а_кх₀^к →0, при к→∞. Значит, сходящаяся последовательность {а_кх₀^к}

ограничена, т.е. сущ-т константа М такая, что |а_кх₀^к|<M для всех к=0,1,2…

Рассмотрим |а0|+|а1х₀|+|а2х₀²|+…+|а_кх₀^к|+….(***)

Пусть |х|<|х0|, тогда |а_кх^к|=|а_кх0^к||х/х0|<М|х/х0|^к, причем |х/х0|<1. Поэтому члены ряда (***) не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда

М+М|х/х0|+М|х/х0|²+…+М|х/х0|^к+…- суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Поэтому ряд (***) сходится, а ряд (**) сходится абсолютно.

2)Предположим, что ряд(**) расходится при х=х1, но для некоторого х:| х |>х1 По первой части теоремы ряд (**) сходится абсолютно при х=х1, следовательно получили противоречие.

Ряд Тейлора.

Пусть ф-я f(x) определена в некоторой окрестности точки х=0 и имеет в этой точке произволдные всех порядков. Степенной ряд f(х0)+ (f’(х0)/1!)*(x-х0)+ (f’’(х0)/2!)*(x-х0)²+…+(f⁽ⁿ⁾(х0)/n!)*(x-х0)ⁿ+… называется рядом Тейлора с центром х0 джлдя ф-и f(x).

Теорема. Если ф-я разлагается в некоторой окрестности т. х0 по степеням х-х0, то он явл рядом Тейлора с центром х0.

Приложения степенных рядов.

^1. Вычисление значений показательной ф-и: пусть х=Е(х)+q, где Е(х)-целая часть числа х, q- дробная его часть, тогда е^х= е^Е(х)* е^q, гденаходят с помомощью умножения, а – с помощью разложения е^х=1+х+х²/2!+х³/3!+…+хⁿ/n!+…. При 0≤х<1, этот ряд быстро сходится, поскольку остаток ряда R_n(x) оценивается след образом:

0≤ R_n(x) <хⁿ⁺¹/n!n

2. Вычисление значений логарифмической ф-и: Ln(1+x)= x- х²/2+х³/3-…+(-1)ⁿхⁿ⁺¹/(n+1)+…

Заменим х на –х: Ln(1-x)= -x- х²/2-х³/3-…+-хⁿ⁺¹/(n+1)-… вычитая из первого равенства второе получим: Ln(1+x)/(1-х)= 2(x+х³/3+х⁵/5+…), где |х|<1.

3. Вычисление значений синуса и косинуса:

Sinx=x- х³/3!+х⁵/5!+…+(-1)ⁿх²ⁿ⁺¹/(2n+1)!+…

Cosx=1- х²/2!+х⁴/4!+…+(-1)ⁿх²ⁿ/(2n)!+…

Ряды при больших х сходятся медленно. Но, учитывая периодичность ф-й синуса и косинуса и формулы приведения тригонометрич. Ф-й, достаточно уметь вычислять sinx, cosx для промежутка 0≤х ≤ π/4.

4. Разложение ф-й в степенные ряды исп-ся для приближенного нахождения интегралов, а также при решении дифференциальных уравнений.

 

Дифференциальные уравнения.

Логический рост.

Пусть р=р(у) – убывающая функция (dp/dy <0), т.е. с увеличением выпуска будет происходить насыщение рынка и цена будет падать. Проведя аналогичные рассуждения получим уравнение:

y¢=kp(y)y,(здесь k=la.) уравнение представляет собой автономное дифференциальное уравнение. Так как k>0, p>0, y>0, то у(t) – возрастающая функция (y¢>0). Исследуем у(t) на выпуклость. Дифференцируя уравнение по t, получим

y¢¢=ky¢(dp y +p) или y¢¢=ky¢p(dp _* y +1), т.е. y¢¢=ky¢p(1- 1),

dy dy p |e_y|

где e_y(p)= dy _* p - эластичность спроса.

dp y

Из этого вытекает, что если спрос эластичен, т.е. |e_y|>1, то y¢¢>0, т.е. функция спроса – выпуклая функция. Если спрос неэластичен, т.е. |e_y|<1, то y¢¢<0 и функция спроса – вогнутая функция.

Пусть, например, р(у)=b-ay (a, b>0), тогда уравнение принимает вид:

y¢=k(b-ay)y. Из чего легко получить, что y¢=0, если у=0 или у= b/a, а также, что у¢¢<0 при у= b/2a, и у¢¢>0 при у> b/2a. В данном случае легко получить и явное выражение для y(t). Разделяя переменные в уравнении, находим

dy = kdt, или dy (1 + a)= kdt.

y(b-ay) b у b-ay

Проинтегрировав это соотношение, имеем

Ln|y|-ln|b-ay|= kbt+lnC, т.е. y/(b-ay)=Ce^kbt. Отсюда получим y= Ce^kbt.

1+Cae^kbt

График этой функции называется логистической кривой. Она также описывает некоторые модели распространения информации, динамику эпидемий, процессы размножения бактерий в ограниченной среде обитания и т.п.

Из графика логистической кривой видно, что при малых t логистический рост схож с естественным ростом, однако при больших t характер роста меряется, темпы роста замедляются и кривая асимптоматически приближается к прямой у=b/a. Эта прямая является трационарным решением уравнения y¢=k(b-ay)y и соответственно случаю р(у)=0. Для этого уравнения также существуют решения при у> b/a, имеющие графики. Но так как в этом случае р(у)<0, то эти графики не имеют экономической интерпретации.

Более реалистичной является модель, в которой скорость роста зависит не от дохода, а от прибыли. Пусть С(у)= aу+b - издержки (b,a - константы) тогда

у¢=k(p(y)y-aу-b). Если p(y)=b-aу,то правая часть уравнения представляет собой квадратный многочлен относительно у с отрицательным коэффициентом перед у². В этом случае возможны три варианта.

1) D<0. Следовательно, у¢<0. Издержки настолько велики, что это приводит к постоянному падению производства и в конце концов к банкротству.

2) D=0.В этом случае у¢ < 0 и меется одна стационарная кривая у=у^* < b/a. При этом интегральные кривые, удовлетворяющие начальному условию у(t₀)=y₀>y^*, будут ассимптотически приближаться к у^* на +µ, а интегральные кривые, удовлетворяющие условию у(t₀)< у^* будут ассимптотически приближаться к у^* на -µ.

3) D>0. В этом случае существует два стационарных решения у=у₁, у=у₂. (0<y₁<y₂). При этом у¢>0 при y₁<у<y₂ и у¢<0 при у<y₁ или у>у₂.

3. Неоклассическая модель роста.

Пусть Y=F(K,L) – национальный доход, где К – обьём капиталовложений (фондов), L – величина затрат труда, F(K,L) – линейно-однородная производственная функция (F(tK,tL)=tF(K,L)). Пусть f(k) – производительность труда:

F(k)= F(K,L)/L=F(K/L,1)=F(k,1), где k=K/L – фондовооружённость. Как известно, f¢(k)>0, f¢¢(k)<0.

Предполагаем, что:

1. происходит естественный прирост трудовых ресурсов, т.е. L¢=aL(a=const);

2. Инвестиции направлены как на увеличение производственных фондов, так и на амортизацию, т.е. L¢=K¢+bK (b - норма амортизации).

 

Пусть l – норма инвестиций (т.е. I=lY), тогда lY=K¢+bK ÞK¢=lY-bK.

Из определения фондовооружённости вытекает ln k=lnK-lnL.

Дифференцируем эти соотношения по t, получим k¢/k=K¢/K-L¢L. Подставляя значения для L¢ и K¢, находим k¢ = lY-bK - a, т.е. k¢= lYk – (b+a)k = lYK -(b+a)k

k K K kL

Учитывая, что f=Y/L, получим K¢=lf(k)- (b+a)k. – уравнение неоклассического роста.

Теория вероятностей.

Комбинация событий.

1)Сумма событий А и В есть событие С, которое заключается в том, что либо А произошло, либо В, либо А и В произошли вместе. С=А+В

2)Произведение событий А и В есть событие Д, которое заключается в том, что А и В произошли вместе. Д=АВ

3)Противоположное событие. А – исходное событие, Ā – противоположное событие заключается в том, что А не произошло (напр, А – попадание при выстреле, Ā – промах).

4)Равенство между событиями. События А и В считаются равными, если всякий раз, когда наступает одно из них, наступает и другое.

Каждое событие можно истолковать как некоторое множество, а операции А+В, АВ, и Ā над событиями – как операции объединения, пересечения и дополнения для множеств.

5)А и В несовместны, если они не могут произойти вместе в одном опыте. АВ=Æ