Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется выражение, связывающее независимую переменную х, функцию у и ее производные.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение.

Дифференциальное уравнение n-го порядка вида у⁽ⁿ⁾ = f (x, у, у ',…у^(n-1)) (*)

называется разрешенным относительно высшей производной.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка называется всякая функция у=φ(x), определенная для значений х на конечном или бесконечном интервале, имеющая производные до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка этой функции и ее производных в дифференциальное уравнение обращает последнее в тождество по х.

Нахождение решений дифференциального уравнения называется интегрированием этого дифференциального уравнения.

во многих случаях требуется находить решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего некоторым дополнительным условиям, например, задача Коши состоит в отыскании решения диф. уравнения (*), определенного в некоторой окрестности точки х₀ и такого, что

у(х₀)= у₀, у ' (х₀)=у₁,..., у^(n-1)(х₀)= у_n-1, где у_0, у_1,…, у_n-1 – заданные числа.

Линейные дифференциальные уравнения: однородные и неоднородные.

Фундаментальная система решений. Метод Лагранжа вариации постоянных.

Линейное дифференциальное ур-е n-го порядка: y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y^(n-1) +…+a_n(x) y = b(x) наз неоднородным, если b(x)≠0; однородным уравнение наз в том случае, если b(x)=0.

Если у₁=φ₁(х), у₂=φ₂(х),… у_k=φ_k(х) – решения однородного ур-я y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y^(n-1) +…+a_n(x) y =0(*), то любая их линейная комбинация С₁у₁ + С₂у₂+…+ С_kу_k, где С₁, С₂ – постоянные, также решение этого однородного ур-я.

Система ф-й наз линейно независимой на интервале (a,b), если ни одна из этих ф-й не может быть выражена в виде линейных комбинации остальных ф-й. Фундаментальный набор решений –это набор линейно независимых решений ур-я (*), содержащий количество ф-й, равное порядку дифференциального ур-я.

Теорема. Для того, чтобы решения у₁=φ₁(х), у₂=φ₂(х),… у_k=φ_k(х) линейного однородного диф-го ур-я с непрерывными на отрезке [a,b] коэффициентами были Л.Н.З. на интервале (a,b), необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского

| φ₁(х) φ₂(х)… φ_n(х) |

W(x)=| … |

| φ₁^(n-1)(х) φ₂^(n-1)(х)… φ_n^(n-1)(х)|

был отличен от нуля при любом х из [a,b].

Любое решение однородного ур-я можно представить в виде линейной комбинации фундаментального набора решений: ў=∑_i=1ⁿ C_iy_i, где Ci (i=1,2,…) – произвольные постоянные. (общее решение однородного диф. Ур-я(*)).

Связь между общим и решением однородной и неоднородной систем.

Пусть ў – общее решение однородного уравнения(*), ỳ- некоторое решение неоднородного уравнения y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y^(n-1) +…+a_n(x) y = b(x) (**). Тогда у= ў+ ỳ - общее решение неоднородного ур-я (**). Зная общее решение неоднородного ур-я, легко найти любое его частное решение.

Метод Лагранжа вариации постоянной.

Сначала решается однородное линейное дифференциальное уравнение (*), соответствующее неоднородному (**): находят общее решение (*). Затем постоянную величину С, входящую в полученное общее решение, полагают новой неизвестной функцией от х: С=С(х), т.е. варьируют произвольную постоянную. Найденную ф-ю подставляют в полученное на первом этапе общее решение однородного уравнения, получаем общее решение неоднородного уравнения.

 

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.

y” + py’ + qy = f(x)

Алгоритм решения

I) Необходимо найти общее решение однородного линейного уравнения

y” + py’ + qy = 0, соответствующего заданному неоднородному уравнению.

Для этого необходимо сначала решить характеристическое уравнение

l² + pl + q = 0.

В зависимости от решения характеристического уравнения необходимо записать общее решение однородного линейного уравнения.

Возможны следующие случаи:

1) D = p² – 4q > 0, l_1,2 – два действительных различных корня характеристического уравнения, тогда общее решение имеет вид:

Y = C₁e^l1x + C₂e^l2x; C₁, C₂ = const.

2) D = p² – 4q = 0, l =-p/2 – единственный корень характеристического уравнения, тогда общее решение имеет вид:

Y = C₁e^lx + C₂e^lx; C₁, C₂ = const.

3) D = p² – 4q < 0, l_1,2 = a + ib – два комплексно-сопряженных корня характеристического уравнения, тогда общее решение имеет вид:

Y = C₁e^ax sinbx + C₂e^axcosbx, C₁, C₂ = const.

II) Необходимо найти частное решение неоднородного линейного уравнения по следующей таблице.

Поиск частных решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами y” + py’ + qy = f(x)

F(x)	Дополнитель-ные условия	Частное решение φ(x)
pn(x)- многочлен n- ой степени	q ≠ 0	φ(x) = Pn(x)
q = 0	φ(x) = x Pn(x)
p = q = 0	φ(x) = x^2 Pn(x)
ae^bx; где a,b = const	b ≠ l1,2	Φ(x) = Ae^bx, где A = const
b = l1	Φ(x) = Axe^bx, где A = const
b = -p/2 = l	φ(x) = Ax^2 e^bx, где A = const
asin kx + + bcos kx	k ≠ 0, p ≠ 0	φ(x) = Asin kx + Bcos kx
p = 0, q = k^2	φ(x) = x (Asin kx + Bcos kx)
pn(x) + de^bx + asin kx+ bcos kx		Cумма частных решений для каждого слагаемого
(pn(x) sin kx + qm(x) cos kx) e^bx		φ(x) = (Pn(x) sin kx + Qm(x) cos kx) e^bx

 

III. Общее решение неоднородного линейного уравнения находится как сумма общего решения однородного линейного уравнения и частного решения неоднородного линейного уравнения y = φ(x) + Y

Нормальная система дифференциальных уравнений. Векторная запись нормальной системы.

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка есть F(x,y,y¢)=0. Если это уравнение можно разрешить относительно у¢, т.е. записать в виде у¢=f(x,y), то говорят, что уравнение записано в нормальной форме (или в форме Коши).

Рассмотрим геометрическую трактовку нахождения решений уравнения. Возьмём некоторую точку (x₀,y₀) из области определения D функции f(x,y). Пусть у=j(х) – интегральная кривая, проходящая через эту точку. Из уравнения вытекает, что j¢(х₀)=(х₀,у₀). Таким образом, угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через точку (х₀,у₀) равен (прих=х₀) числу f(х_0,у₀).

Построим теперь для каждой точки (х₀,у₀) из области определения прямую, проходящую через эту точку и имеющую угловой коэффициент, равный f(х₀,у₀). В этом случае принято говорить, что эта прямая определяет направление в точке (х₀,у₀), а на множестве D задано поле направлений.

 

Если каждое уравнение, входящее в систему, является дифференциальным, т.е. имеет вид соотношения, связывающего неизвестные функции и их производные, то говорят о системе дифференциальных уравнений. Так система дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями записывается обычно в виде

ì

í j(t,x₁,x₂, dx₁/dt,dx₂/dt)=0

î y(t,x₁,x₂, dx₁/dt,dx₂/dt)=0.

На системы дифференциальных уравнений естественным образом обощается постановка задачи Коши для одного уравнения. Например, в случае данной системы задача Коши состоит в нахождении решения х₁(t),x₂(t), удовлетворяющих начальным условиям х₁(t₀)= х₁⁰, x₂(t₀)= x₂⁰, где t_0, х₁⁰, x₂⁰ – заданные числа. Для случая системы может быть доказана теорема существования и единственности решения задачи Коши, аналогичная теореме для одного уравнения.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Если в некоторой окрестности точки (х₀,у₀) функция f(х,у) определена, непрерывна и имеет непрерывную частную производную f¢_y, то существует такая окрестность точки (х₀,у₀), в которой задача Коши имеет решение, притом единственное. (приводится без доказательства)

Задача о нахождении решений дифференциального уравнения у¢=f(x,y), удовлетворяющих начальному условию у(х₀)=у₀, называется задачей Коши.

К системам дифференциальных уравнений первого порядка в известном смысле сводятся уравнения (и системы уравнений) любого порядка. Пример.

Пусть дано уравнение у¢¢¢=f(x,y,y¢,y¢¢). Если обозначить функцию y¢и y¢¢ соответственно через m и n, то уравнение можно заменить системой

ìy¢=m

ím¢=n

în¢=f(x,y, m,n)

состоящей из трёх уравнений первого порядка с тремя неизвестными функциями.

Векторная запись нормальной системы. (со слов Гончаренко)

Пусть дана нормальная система из n уравнений с n неизвестными.

ìx₁=f(x₁,x₂,…,x_n),

ïx₂= f(x₁,x₂,…,x_n),

í…..

îx_n= f(x₁,x₂,…,x_n)..

Представим набор решений как вектор х= (x₁,x₂,…,x_n) в проистранстве Rⁿ.

....

Функцию также можно записать в векторном виде f=(f(x),f(x),…,f(x)).

Векторная запись всей системы будет выглядеть следующия образом:

...

x = f (x).

 

Теория вероятностей.