Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши.



Обыкновенным дифференциальным уравнением называется выражение, связывающее независимую переменную х, функцию у и ее производные.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение.

Дифференциальное уравнение n-го порядка вида у(n) =f(x, у, у',…у(n-1)) (*)

называется разрешенным относительно высшей производной.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка называется всякая функция у=φ(x), определенная для значений х на конечном или бесконечном интервале , имеющая производные до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка этой функции и ее производных в дифференциальное уравнение обращает последнее в тождество по х.

Нахождение решений дифференциального уравнения называется интегрированием этого дифференциального уравнения.

во многих случаях требуется находить решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего некоторым дополнительным условиям, например, задача Коши состоит в отыскании решения диф. уравнения (*), определенного в некоторой окрестности точки х0 и такого, что

у(х0)= у0 , у'( х0)=у1,..., у(n-1)0)= уn-1, где у0, у1,…, уn-1 – заданные числа.

Линейные дифференциальные уравнения: однородные и неоднородные.

Фундаментальная система решений. Метод Лагранжа вариации постоянных.

Линейное дифференциальное ур-е n-го порядка: y(n) + a1(x) y(n-1) +…+an(x) y = b(x) наз неоднородным, если b(x)≠0; однородным уравнение наз в том случае, если b(x)=0.

Если у11(х), у22(х),… уkk(х) – решения однородного ур-я y(n) + a1(x) y(n-1) +…+an(x) y =0(*), то любая их линейная комбинация С1у1 + С2у2+…+ Сkуk, где С1, С2 – постоянные, также решение этого однородного ур-я.

Система ф-й наз линейно независимойна интервале (a,b), если ни одна из этих ф-й не может быть выражена в виде линейных комбинации остальных ф-й. Фундаментальный набор решений –это набор линейно независимых решений ур-я (*), содержащий количество ф-й, равное порядку дифференциального ур-я.

Теорема. Для того, чтобы решения у11(х), у22(х),… уkk(х) линейного однородного диф-го ур-я с непрерывными на отрезке [a,b] коэффициентами были Л.Н.З. на интервале (a,b), необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского

| φ1(х) φ2(х)… φn(х) |

W(x)=| … |

| φ1(n-1)(х) φ2(n-1)(х)… φn(n-1)(х)|

был отличен от нуля при любом х из [a,b].

Любое решение однородного ур-я можно представить в виде линейной комбинации фундаментального набора решений : ў=∑i=1n Ciyi , где Ci (i=1,2,…) – произвольные постоянные. (общее решение однородного диф. Ур-я(*)).

Связь между общим и решением однородной и неоднородной систем.

Пусть ў – общее решение однородного уравнения(*), ỳ- некоторое решение неоднородного уравнения y(n) + a1(x) y(n-1) +…+an(x) y = b(x) (**). Тогда у= ў+ ỳ - общее решение неоднородного ур-я (**). Зная общее решение неоднородного ур-я, легко найти любое его частное решение.

Метод Лагранжа вариации постоянной.

Сначала решается однородное линейное дифференциальное уравнение (*), соответствующее неоднородному (**): находят общее решение (*). Затем постоянную величину С, входящую в полученное общее решение, полагают новой неизвестной функцией от х: С=С(х), т.е. варьируют произвольную постоянную. Найденную ф-ю подставляют в полученное на первом этапе общее решение однородного уравнения, получаем общее решение неоднородного уравнения.

 

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.

y” + py’ + qy = f(x)

Алгоритм решения

I) Необходимо найти общее решение однородного линейного уравнения

y” + py’ + qy = 0, соответствующего заданному неоднородному уравнению.

Для этого необходимо сначала решить характеристическое уравнение

l2 + pl + q = 0.

В зависимости от решения характеристического уравнения необходимо записать общее решение однородного линейного уравнения.

Возможны следующие случаи:

1) D = p2 – 4q > 0, l1,2 – два действительных различных корня характеристического уравнения, тогда общее решение имеет вид:

Y = C1el1x + C2el2x; C1, C2 = const.

2) D = p2 – 4q = 0, l =-p/2 – единственный корень характеристического уравнения , тогда общее решение имеет вид:

Y = C1elx + C2elx; C1, C2 = const.

3) D = p2 – 4q < 0, l1,2 = a + ib – два комплексно-сопряженных корня характеристического уравнения, тогда общее решение имеет вид:

Y = C1eax sinbx + C2eaxcosbx, C1, C2 = const.

II) Необходимо найти частное решение неоднородного линейного уравнения по следующей таблице.

Поиск частных решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами y” + py’ + qy = f(x)

F(x) Дополнитель-ные условия Частное решение φ(x)
pn(x)- многочлен n- ой степени q ≠ 0 φ(x) = Pn(x)
q = 0 φ(x) = x Pn(x)
p = q = 0 φ(x) = x2 Pn(x)
aebx; где a,b = const b ≠ l1,2 Φ(x) = Aebx, где A = const
b = l1 Φ(x) = Axebx, где A = const
b = -p/2 = l φ(x) = Ax2 ebx, где A = const
asin kx + + bcos kx k ≠ 0, p ≠ 0 φ(x) = Asin kx + Bcos kx
p = 0, q = k2 φ(x) = x (Asin kx + Bcos kx)
pn(x) + debx + asin kx+ bcos kx   Cумма частных решений для каждого слагаемого
(pn(x) sin kx + qm(x) cos kx) ebx   φ(x) = (Pn(x) sin kx + Qm(x) cos kx) ebx

 

III. Общее решение неоднородного линейного уравнения находится как сумма общего решения однородного линейного уравнения и частного решения неоднородного линейного уравнения y = φ(x) + Y

Нормальная система дифференциальных уравнений. Векторная запись нормальной системы.

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка есть F(x,y,y¢)=0. Если это уравнение можно разрешить относительно у¢, т.е. записать в виде у¢=f(x,y), то говорят, что уравнение записано в нормальной форме (или в форме Коши).

Рассмотрим геометрическую трактовку нахождения решений уравнения. Возьмём некоторую точку (x0,y0) из области определения D функции f(x,y). Пусть у=j(х) – интегральная кривая, проходящая через эту точку. Из уравнения вытекает, что j¢(х0)=(х00). Таким образом, угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через точку (х00) равен (прих=х0) числу f(х0,у0).

Построим теперь для каждой точки (х00) из области определения прямую, проходящую через эту точку и имеющую угловой коэффициент, равный f(х00). В этом случае принято говорить, что эта прямая определяет направление в точке (х00), а на множестве D задано поле направлений.

 

Если каждое уравнение, входящее в систему, является дифференциальным, т.е. имеет вид соотношения, связывающего неизвестные функции и их производные, то говорят о системе дифференциальных уравнений. Так система дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями записывается обычно в виде

ì

í j(t,x1,x2, dx1/dt,dx2/dt)=0

î y( t,x1,x2, dx1/dt,dx2/dt)=0.

На системы дифференциальных уравнений естественным образом обощается постановка задачи Коши для одного уравнения. Например, в случае данной системы задача Коши состоит в нахождении решения х1(t),x2(t), удовлетворяющих начальным условиям х1(t0)= х10, x2(t0)= x20, где t0, х10, x20 – заданные числа. Для случая системы может быть доказана теорема существования и единственности решения задачи Коши, аналогичная теореме для одного уравнения.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Если в некоторой окрестности точки (х00) функция f(х,у) определена, непрерывна и имеет непрерывную частную производную f¢y, то существует такая окрестность точки (х00), в которой задача Коши имеет решение, притом единственное. (приводится без доказательства)

Задача о нахождении решений дифференциального уравнения у¢=f(x,y), удовлетворяющих начальному условию у(х0)=у0 , называется задачей Коши.

К системам дифференциальных уравнений первого порядка в известном смысле сводятся уравнения (и системы уравнений) любого порядка. Пример.

Пусть дано уравнение у¢¢¢=f(x,y,y¢,y¢¢). Если обозначить функцию y¢и y¢¢ соответственно через m и n, то уравнение можно заменить системой

ìy¢=m

ím¢=n

în¢=f(x,y, m,n)

состоящей из трёх уравнений первого порядка с тремя неизвестными функциями.

Векторная запись нормальной системы. (со слов Гончаренко)

Пусть дана нормальная система из n уравнений с n неизвестными.

ìx1=f(x1,x2,…,xn),

ïx2= f(x1,x2,…,xn),

í…..

îxn= f(x1,x2,…,xn). .

Представим набор решений как вектор х= (x1,x2,…,xn) в проистранстве Rn.

....

Функцию также можно записать в векторном виде f=(f(x),f(x),…,f(x)).

Векторная запись всей системы будет выглядеть следующия образом:

...

x = f ( x ).

 

Теория вероятностей.



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-21; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.238.135.174 (0.009 с.)