Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Ответы к экзамену по математическому анализу

1. Основные определения и задачи теории дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема и задача Коши.

 

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, в которое входит неизвестная функция под знаком производной или дифференциала.

Если неизвестная функция является функцией одной переменной, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным (сокращенно ОДУ – обыкновенное дифференциальное уравнение). Если же неизвестная функция есть функция многих переменных, то дифференциальное уравнение называют уравнением в частных производных.

Максимальный порядок производной неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Вот примеры ОДУ первого, второго и пятого порядков соответственно

В качестве примеров уравнений в частных производных второго порядка приведем

Далее мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения n-ого порядка вида или , где Ф(x, y) = 0 неизвестная функция, заданная неявно (когда возможно, будем ее записывать в явном представлении y = f(x)).

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Решение дифференциального уравнения - это неявно заданная функция Ф(x, y) = 0 (в некоторых случаях функцию y можно выразить через аргумент x явно), которая обращает дифференциальное уравнение в тождество.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ.

Решение дифференциального уравнения всегда ищется на заранее заданном интервале X.

Почему мы об этом говорим отдельно? Да потому что в условиях многих задач об интервале X не упоминают. То есть, обычно условие задач формулируется так: «найдите решение обыкновенного дифференциального уравнения ». В этом случае подразумевается, что решение следует искать для всех x, при которых и искомая функция y, и исходное уравнение имеют смысл.

Решение дифференциального уравнения часто называют интегралом дифференциального уравнения.

Функции или можно назвать решением дифференциального уравнения .

Одним из решений дифференциального уравнения является функция . Действительно, подставив эту функцию в исходное уравнение, получим тождество . Несложно заметить, что другим решением этого ОДУ является, например, . Таким образом, дифференциальные уравнения могут иметь множество решений.

Общее решение дифференциального уравнения – это множество решений, содержащее все без исключения решения этого дифференциального уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения еще называют общим интегралом дифференциального уравнения.

Вернемся к примеру. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид или , где C – произвольная постоянная. Выше мы указали два решения этого ОДУ, которые получаются из общего интеграла дифференциального уравнения при подстановке С = 0 и C = 1 соответственно.

Если решение дифференциального уравнения удовлетворяет изначально заданным дополнительным условиям, то его называют частным решением дифференциального уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения , удовлетворяющим условию y(1) = 1, является . Действительно, и .

Основными задачами теории дифференциальных уравнений являются задачи Коши, краевые задачи и задачи нахождения общего решения дифференциального уравнения на каком-либо заданном интервале X.

Задача Коши – это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям , где - числа.

Краевая задача – это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющего дополнительным условиям в граничных точках x₀ и x₁:
f (x₀) = f₀, f (x₁) = f₁, где f₀ и f₁ - заданные числа.

Краевую задачу часто называют граничной задачей.

Обыкновенное дифференциальное уравнение n-ого порядка называется линейным, если оно имеет вид , а коэффициенты есть непрерывные функции аргумента x на интервале интегрирования.

Если , то уравнение называют линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ), в противном случае – линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ).

Когда коэффициенты являются постоянными функциями (то есть, некоторыми числами), то соответствующие дифференциальные уравнения называют ЛОДУ с постоянными коэффициентами (если ) или ЛНДУ с постоянными коэффициентами (при ненулевой f(x)).

Характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения n-ой степени с постоянными коэффициентами – это уравнение n-ой степени вида

F(x, y, y ') = 0,

где y = y(x) — неизвестная, непрерывно дифференцируема на (a, b) функция, называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Функция y = y(x) называется решением дифференциального уравнения F(x, y, y ') = 0, если она непрерывно дифференцируема на (a,b) и F(x, y(x), y '(x)) ≡ 0 для всех x из (a,b). График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение 1–го порядка имеет бесконечно много решений. Для того чтобы выделить единственное решение, нужно задать дополнительные (начальные) условия. Задача отыскания решения y = y(x) уравнения F(x, y, y ') = 0, удовлетворяющего условию y(x₀) = y₀, называется задачей Коши (или начальной задачей). Условие y(x₀) = y₀ — начальное условие. Любое конкретное решение y = y(x) (решение задачи Коши) уравнения 1–го порядка, называется частным решением уравнения. Общее решение уравнения, записанное в неявной форме Φ(x, y) = C, называется общим интегралом уравнения. Частное решение уравнения, записанное в неявной форме Φ(x, y) = 0, называется частным интегралом уравнения. Уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной, называют уравнением, записанными в нормальной форме:

Уравнения первого порядка часто записывают в дифференциальной форме:

M (x, y)d x + N (x, y)d y = 0.

Решение такого уравнения можно искать как в виде y = y (x), так и в виде x = x (y).

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений n–го порядка

или

Задачей Коши для для этой системы называется следующая задача: найти такое решение Y = Y (x) системы Y ' = F (x, Y), что Y (x ₀)= Y ₀, где Y ₀ — некоторый постоянный вектор.

 

Справедлива следующая теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.

Теорема Коши. Пусть в области D из R ^{n +1} непрерывны все компоненты вектора правой части F (x, Y) и их частные производные по Y:

Тогда, какова бы ни была начальная точка (x₀,Y₀) ≡ (x₀,y_{1, 0},y_{2, 0}, …,y _{n , 0}) ∈ D, существует такой отрезок [x₀ − h; x₀ + h], что задача Коши Y ' = F (x, Y), что Y (x ₀)= Y ₀ имеет единственное решение.

 

Важно понимать, что теорема Коши имеет локальный характер: существование решения Y = Y (x) гарантируется лишь в достаточно малой окрестности точки x₀, (h > 0 может оказаться достаточно малым).

Важно также понимать, что теорема содержит только достаточные условия существования и единственности решения — при нарушении условий теоремы задача Коши может иметь или не иметь решений, может иметь несколько решений.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение

(3.1)

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Умножая обе части уравнения на , получаем уравнение

(3.2)

В уравнении (3.2) коэффициент при dx зависит только от x, а коэффициент при dy зависит только от y. Значит, в уравнении (3.2) переменные разделены. Интегрируя, получаем:

+

Пример.3.1 . Найти частное решение уравнения,удовлетворяющее начальным данным: при x= 1, y= 1.

Преобразуем уравнение ; . Умножая оби части уравнения на , получаем уравнение с разделенными переменными . Интегрируем:

+ ; + ;

; .

По начальным данным находим c (в последнее уравнение подставляем x= 1, y =1):

1+1+0= c, c =2; - искомое частное решение.

Пример. 3.2

Заменяем на : , переменные

разделились. Интегрируем: = , ,

- общее решение.

Практически решение большинства типов дифференциальных уравнений сводится к решению уравнений с разделяющимися переменными, методы сведения разнообразны и зависят от типа уравнения.

Например, в уравнении

(3.5)

где a и b константы можно разделить переменные, сделав замену z=ax+by.

Так как , то , переменные разделились,

интегрируем = .

3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение называется однородным, если – однородная функция нулевой степени.
Дифференциальное уравнение первого порядка в симметричной форме является однородным, если – однородные функции одной степени.
Замена приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример

Решить уравнение . Найти решение, удовлетворяющее начальному условию .

Данное уравнение однородное. Произведя замену , получим (здесь мы учли, что ). Сокращаем на . Учитывая, что , получим . Интегрируем полученное равенство: . Обозначая и учитывая , получаем ответ . Для данного начального условия : . Следовательно, искомое частное решение есть .

4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

Пример 1 - решить дифференциальное уравнение

Решение примера.

Проверим дифференциальное уравнение на то, что оно является дифференциальным уравнением в полных дифференциалах. Для этого найдем частную производную по от функции, которая стоит перед , найдем частную производную по от функции, которая стоит перед . Получаем, что

и

следовательно, исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Найдем функцию , полный дифференциал которой был бы равен левой части исходного дифференциального уравнения, т.е. такую функцию , что

Интегрируем по первое из уравнений, считая постоянным, при этом константа интегрирования должно быть функцией :

Подставляя это выражение для функции во второе из уравнений, найдем неизвестную функцию ^

получаем, что

Следовательно, в качестве функции можно взять , и общее решение исходного дифференциального уравнение будет иметь вид:

Пример 1

Решить уравнение y'' = sin x + cos x.

Решение.

Данный пример относится к случаю 1. Введем функцию y' = p (x). Тогда y'' = p'. Следовательно,

Интегрируя, находим функцию p (x):

Учитывая, что y' = p (x), проинтегрируем еще одно уравнение 1-го порядка:

Последняя формула представлят собой общее решение исходного дифференциального уравнения.

Пример 2

Решить уравнение .

Решение.

Это уравнение относится к типу 2, где правая часть зависит лишь от переменной y. Введем параметр p = y'. Тогда уравнение можно записать в виде

Мы получили уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными для функции p (y). Интегрируем его:

где C ₁ − постоянная интегрирования.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим функцию p (y):

Теперь вспомним, что y' = p и решим еще одно уравнение 1-го порядка:

Разделим переменные и проинтегрируем:

Чтобы вычислить левый интеграл, сделаем замену:

Тогда левый интеграл будет равен

В результате мы получаем следующее алгебраическое уравнение:

в котором C ₁, C ₂ являются постоянными интегрирования.

Последнее выражение представляет собой общее решение дифференциального уравнения в неявном виде.

Пример 3

Решить уравнение .

Решение.

Данное уравнение не содержит функции y и независимой переменной x (случай 3). Поэтому полагаем y' = p (x). После этого уравнение принимает вид

Полученное уравнение первого порядка для функции p (x) является уравнением с разделяющимися переменными и легко интегрируется:

Заменяя p на y', получаем

Интегрируя еще раз, находим общее решение исходного дифференциального уравнения:

Пример 4

Решить уравнение .

Решение.

В это уравнение не входит явно переменная y, т. е. уравнение относится к типу 4 в нашей классификации. Введем новую переменную y' = p (x). Исходное уравнение преобразуется в уравнение первого порядка:

которое решается разделением переменных:

Интегрируя полученное уравнение еще раз, находим функцию y (x):

Для вычисления последнего интеграла сделаем замену: x = t ², dx = 2 tdt. В результате имеем

Возвращаясь обратно к переменной x, окончательно получаем

Пример 5

Решить уравнение y'' = (2 y + 3)(y')².

Решение.

Данное уравнение не содержит явно независимой переменной x, т.е. относится к случаю 5. Пусть y' = p (y). Тогда уравнение запишется в виде

Разделяем переменные и интегрируем:

Интегрируя еще раз, получаем окончательное решение в неявном виде:

где C ₁, C ₂ − постоянные интегрирования.

Пример 6

Решить уравнение .

Решение.

Уравнение удовлетворяет условию однородности. Поэтому сделаем следующую замену переменной: . Производные будут равны

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид:

Функция z (x) легко находится:

Исходную функцию y (x) определим по формуле

Вычисления приводят к следующему ответу:

Заметим, что кроме полученного общего решения, дифференциальное уравнение содержит также особое решение y = 0.

Пример 7

Решить уравнение yy'' + (y')² = 2 x + 1.

Решение.

Можно заметить, что левая часть уравнения представляет собой производную от yy'. Поэтому, обозначая z = yy', получаем следующее дифференциальное уравнение:

Последнее уравнение легко решается разделением переменных:

Теперь проинтегрируем еще одно уравнение для y (x):

где C ₁, C ₂ − произвольные постоянные.

 

Таблица 1.

В табл. 1 функция φ(х) есть частное решение неоднородного уравнения; оно может быть найдено по способу неопределенных коэффициентов, если правая часть дифференциального уравнения имеет следующую структуру:

где Р₁(х) и Р₂(х) - многочлены.

В общем же случае применяют вариацию произвольных постоянных, а именно: заменяют постоянные C₁ и С₂ функциями C₁(x) и С₂(х); производные этих функций должны удовлетворять системе алгебраических линейных уравнений:

Найдя С′₁ и С′₂, получают

где D₁ и D₂ - произвольные постоянные.

Уравнение вида x²y"+xp(x)y'+q(x)y=0 в том случае, если р(х) и q(x) разлагается в сходящиеся ряды по степеням х, имеет решение

где k определяется из уравнения

а коэффициенты а₀, а₁,... находят методом неопределенных коэффициентов.

ПРИМЕР 1. Уравнение Эйлера:

В этом случае

и решение имеет вид

ПРИМЕР 2. Уравнение Бесселя:

Для k получается

откуда k=±y.

Два решения имеют вид

Определение а_p с помощью метода неопределенных коэффициентов приводит к функциям Бесселя. Примечание: Символ неопределенного интеграла используется для обозначения какой-либо первообразной от подынтегральной функции.

Определителем Вронского W(x; y ₁(x), y ₂(x),..., y_n (x)) называется определитель, первая строка которого образована функциями y ₁(x), y ₂(x),..., y_n (x) из C _{n -1}[ a, b ], а последующие строки образованы производными от функций предыдущей строки:

Справедливо следующее необходимое условие линейной зависимости функций.

Если функции y ₁(x), y ₂(x),..., y_n (x) линейно зависимы на отрезке [ a; b ], то их определитель Вронского тождественно равен нулю на этом отрезке: W(x; y ₁(x), y ₂(x),..., y_n (x)) ≡ 0 на [ a; b ].

Важно понимать, что обратное утверждение неверно. Определитель Вронского линейно независимой системы функций может быть тождественно равен нулю.

Однако, если определитель Вронского системы функций на некотором отрезке отличен от тождественного нуля, то система функций линейно независима на этом отрезке. Пример.Вычислим на всей числовой оси определитель Вронского W(x;1, x, x²,..., x ⁿ) — определитель Вронского системы функций 1, x, x²,..., x ⁿ.

Определитель Вронского на всей числовой оси отличен от нуля, следовательно функции 1, x, x²,..., x ⁿ линейно независимы на всей числовой оси.

Решение.

Запишем характеристическое уравнение k² + 4 ⋅ k + 4 = 0. Найдем его корни

Получили два совпадающих корня, следовательно, общее решение имеет вид .

Пример.

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение.

Мы имеем ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни:

Корни действительные и различные, поэтому, общее решение однородного уравнения имеет вид .

Пример.

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение.

Характеристическое уравнение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
k² - k + 3 = 0. Найдем его корни:

Получили пару комплексно сопряженных корней характеристического уравнения, следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид

Числовые ряды

Числовой ряд задается несколькими первыми членами или формулой n-го члена

Ряд называется сходящимся, если существует предел n-ой частичной суммы:

Число S называется суммой ряда.

Если не существует, то ряд называется расходящимся.

Примеры сходящихся и расходящихся рядов.

Рассмотрим ряд (1)

члены которого образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q.

Если |q|<1, то ряд сходится и его сумма

Если , то ряд расходится.

Ряд называется гармоническим рядом.

Гармонический ряд расходится.

С положительными членами

Признак Даламбера

Пусть в ряде с положительными членами

Тогда: а) если l < 1, то ряд сходится,

 

б) если l > 1, то ряд расходится.

 

При l = 1 надо использовать другой признак.

 

Интегральный признак Коши

 

Пусть в ряде с положительными убывающими членами

 

n-ый член ряда определяется формулой где y = f(x) - непрерывная, положительная и убывающая функция на промежутке . Тогда несобственный интеграл и числовой ряд одновременно сходятся или одновременно расходятся.

 

Признак сравнения рядов

 

Пусть даны два ряда с положительными членами, и члены первого ряда меньше соответствующих членов второго:

Тогда:

1) если ряд (2) сходится, то ряд (1) тоже сходится,

2) если ряд (1) расходится, то ряд (2) тоже расходится.

Итак, если члены данного ряда меньше членов сходящегося ряда, то данный ряд тоже сходится. Если члены данного ряда больше членов расходящегося ряда, то данный ряд тоже расходится.

 

Функциональные ряды

Формально записанное выражение

(25)

где - последовательность функций от независимой переменной x, называется функциональным рядом.

Примерами функциональных рядов могут служить:

(26)

(27)

Придавая независимой переменной x некоторое значение и подставляя его в функциональный ряд (25), получим числовой ряд

Если он сходится, то говорят, что функциональный ряд (25) сходится при ; если он расходится, что говорят, что ряд (25) расходится при .

Пример 13. Исследовать сходимость ряда (26) при значениях x = 1 и x = - 1.
Решение. При x = 1 получим числовой ряд

который сходится по признаку Лейбница (см. пример 11). При x = - 1 получим числовой ряд

который расходится как произведение расходящегося гармонического ряда на – 1. Итак, ряд (26) сходится при x = 1 и расходится при x = -1.

Если такую проверку на сходимость функционального ряда (1) осуществить относительно всех значений независимой переменной из области определения его членов, то точки этой области разобьются на два множества: при значениях x, взятых в одном из них, ряд (25) сходится, а в другом – расходится.

Множество значений независимой переменной, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

Пример 14. Найти область сходимости ряда

Решение. Члены ряда определены на всей числовой прямой и образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q = sin x. Поэтому ряд сходится, если

и расходится, если

(значения невозможны). Но при значениях и при остальных значениях x. Следовательно, ряд сходится при всех значениях x, кроме . Областью его сходимости служит вся числовая прямая, за исключением этих точек.

Пример 15. Найти область сходимости ряда

Решение. Члены ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q = ln x. Поэтому ряд сходится, если , или , откуда . Это и есть область сходимости данного ряда.

Пример 16. Исследовать сходимость ряда

Решение. Возьмём произвольное значение . При этом значении получим числовой ряд

(*)

Найдём предел его общего члена

при :

Следовательно, ряд (*) расходится при произвольно выбранном, т.е. при любом значении x. Область его сходимости – пустое множество.

Степенные ряды

Среди функциональных рядов наиболее важное место занимают степенные ряды.

Степенным рядом называют ряд

члены которого – степенные функции, расположенные по возрастающим целым неотрицательным степеням x, а - постоянные величины. Числа - коэффициенты членов ряда, - свободный член. Члены степенного ряда определены на всей числовой прямой.

Примерами степенных рядов могут служить приведённые выше ряды (26) и (27).

Область сходимости функционального ряда может быть разнообразной