Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

 

 

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

Выпишем характеристическое уравнение, соответствующее данному однородному уравнению

.

Разлагая левую часть уравнения на множители, находим корни:

,

.

Следуя выше изложенной теории, выпишем общее решение данного уравнения

.

Для линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида, а именно состоящей из сумм и произведений функций , частное решение можно искать методом неопределенных коэффициентов. Вид частного решения зависит от корней характеристического уравнения. Ниже представлена таблица видов частных решений линейного неоднородного уравнения с правой частью специального вида.

Правая часть	Число, сравниваемое с корнем характеристического уравнения	Вид частного решения
	0 - не корень
0 - корень кратности k
	- не корень
- корень кратности k
	- не корень
- корень кратности k
	- не корень
- корень кратности k

Здесь -многочлены степени s, а - многочлены степени s, коэффициенты которых нужно найти методом неопределенных коэффициентов. Для того чтобы их найти, нужно функцию, задающую вид частного решения, подставить в исходное дифференциальное уравнение и после приведения подобных слагаемых приравнять соответствующие коэффициенты в правой и левой частях уравнения. В случае, когда для определения вида частного решения нельзя воспользоваться только одной строкой таблицы, применяют принцип суперпозиции.

Теорема (принцип суперпозиции). Пусть - решения уравнений

,

соответственно. Тогда

есть решение уравнения

.

Пример 2. Решить уравнение , удовлетворяющее условиям .

Решение.

Сначала найдем общее решение данного неоднородного уравнения второго порядка, а затем среди всех решений выберем то, которое удовлетворяет заданным условиям. Так как характеристическое уравнение имеет корни , то общим решением соответствующего однородного уравнения является функция:

.

Правая часть исходного неоднородного уравнения представляет собой сумму двух функций специального вида . Найдем методом неопределенных коэффициентов частные решения уравнений

(*)

(**)

соответственно.

Определим частное решение уравнения (*). Правая часть представляет собой произведение многочлена первой степени и . Число, которое нужно сравнивать с корнем характеристического уравнения - это 1. Оно является простым корнем характеристического уравнения кратности 1. Согласуя с параметрами таблицы, имеем , следовательно, частное решение будем искать в виде:

,

где коэффициенты a и b подлежат определению. Подставляя последнее выражение в (*), и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях, получим следующую систему:

откуда , а значит

.

Правая часть уравнения (**) представляет собой произведение многочлена нулевой степени и тригонометрической функции. Число 2i не является корнем характеристического уравнения. Частное решение уравнения (**) ищем в виде ():

.

Подставляя в (**), и приравнивая коэффициенты при sin2x и cos2x справа и слева, получим систему для определения коэффициентов c и d:

Откуда . Поэтому . Согласно принципу суперпозиции, частное решение первоначального уравнения имеет вид:

,

а его общее решение определяется функцией:

.

Чтобы решить задачу Коши, определим значения произвольных постоянных в общем решении. Для этого в решение и его производную подставим x=0. Используя начальные условия , получим:

откуда . Значит решение поставленной задачи Коши есть

.

Линейное неоднородное уравнение (1) с любой правой частью можно решить методом вариации постоянных. Пусть найдено общее решение соответствующего линейного однородного уравнения. Тогда решения уравнения (1) ищется в виде

.

Функции определяются из системы

Пример 3. Решить уравнение .

Решение.

Исходное уравнение есть линейное неоднородное уравнение второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение . Характеристическое уравнение для данного однородного уравнения есть , решениями которого являются . Тогда общим решением однородного уравнения будет функция . Тогда решение заданного уравнения будем искать в виде

.

Функции определяются из системы

Решая систему, находим

.

Тогда функция

определяет общее решение исходного уравнения.

Рассмотрим дифференциальные уравнения, сводящиеся к линейным уравнения с постоянными коэффициентами.

 

10.Решение линейного дифференциального уравнения 2-го порядка методом Лагранжа.

 

Пусть дано неоднородное линейное уравнение второго порядка

, (2.2.1)

где коэффициенты , и правая часть есть функции от x, непрерывные в некотором интервале .

Рассмотрим наряду с уравнением (2.2.1) соответствующее ему однородное уравнение

(2.2.2)

Пусть , - фундаментальная система решений уравнения (2.2.2), так что

, (2.2.3)

и

. (2.2.4)

Тогда, как известно, общее решение уравнения (2.2.2) имеет вид

,

где и - произвольные постоянные.

Будем искать решение уравнения (2.2.1) в виде

, (2.2.5)

где и - некоторые функции от x, подлежащие определению.

Подставляя (2.2.5) в уравнение (2.2.1), получим одно условие, которому должны удовлетворять две неизвестные функции и . Это условие будет иметь вид

. (2.2.6)

Оно содержит производные второго порядка от искомых функций и , так что на первый взгляд задача усложнилась: вместо уравнения второго порядка (2.2.1) с одной неизвестной функцией y мы получили уравнение того же порядка, но уже с двумя неизвестными функциями - и . Однако мы покажем, что искомые функции можно подчинить такому дополнительному условию, что в уравнение (2.2.6) не войдут производные второго порядка от этих функций.

Дифференцируя обе части равенства (2.2.5), имеем

.

Чтобы при вычислении не появились производные второго порядка от и , положим

.

Это и есть то дополнительное условие на искомые функции и , о котором говорилось выше. При этом условии выражение для примет вид

. (2.2.7)

Вычисляя теперь , получим

. (2.2.8)

Подставим выражения для , и из формул (2.2.5), (2.2.7) и (2.2.8) в уравнение (2.2.1). Для этого умножим левые и правые части этих формул соответственно на , и 1, сложим почленно и приравняем сумму правой части уравнения (2.2.1). Получим

.

Здесь в силу (2.2.3) первые два слагаемых равны нулю, поэтому

.

Это и есть новый вид условия (2.2.6). Теперь оно уже не содержит производных второго порядка от и .

Таким образом, мы получили систему дифференциальных уравнений

Эта система в силу (2.2.4) однозначно разрешим относительно и . Решая ее, получим

, ,

где и суть вполне определенные функции от x. Их можно найти, например, по правилу Крамера. При этом, так как , , и непрерывны в интервале , то в силу (2.2.4) функции и будут непрерывны в интервале . Поэтому

, ,

где и - произвольные постоянные.

Подставляя найденные значения функций и в формулу (2.2.5), получим

. (2.2.9)

Полагая здесь , получим частное решение

так что формулу (2.2.9) можно записать в виде

,

откуда в силу теоремы о том, что решение неоднородного линейного уравнения равно сумме какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения, следует, что формула (2.2.9) дает общее решение уравнения (2.2.1). Все решения, входящие в формулу (2.2.9), заведомо определены в интервале .

Пример. Рассмотрим уравнение

. (2.2.10)

Здесь первая часть непрерывна в каждом из интервалов

,

где - любое целое число. Соответствующее однородное уравнение

имеет фундаментальную систему решений

, ,

так что общим решением этого уравнения будет .

Будем искать решение уравнения (2.2.10) в виде

. (2.2.11)

Для нахождения и имеем систему

Решая ее, найдем

Подставляя найденные значения и в формулу (2.2.11), получим общее решение уравнения (2.2.10) в виде