Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.

Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки. Признак Лейбница Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница. Пусть { an } является числовой последовательностью, такой, что 1. an +1 < an для всех n; 2. . Тогда знакочередующиеся ряды и сходятся. Абсолютная и условная сходимость Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится. Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно. Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Пример 1

Исследовать на сходимость ряд . Решение. Применим достаточный признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем поскольку . Следовательно, данный ряд сходится.

Пример 2

Исследовать на сходимость ряд . Решение. Попробуем применить признак Лейбница: Видно, что модуль общего члена не стремится к нулю при n → ∞. Поэтому данный ряд расходится.

Пример 3

Определить, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся? Решение. Применяя признак Даламбера к ряду, составленному из модулей соответствущих членов, находим Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.

Пример 4

Определить, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся? Решение. Сначала воспользуемся признаком Лейбница и найдем предел . Вычислим этот предел по правилу Лопиталя: Таким образом, исходный ряд расходится.

Пример 5

Исследовать на сходимость ряд Решение. Общий член данного ряда равен . Применим признак Даламбера к ряду , составленному из модулей: Следовательно. исходный ряд сходится абсолютно.

Пример 6

Исследовать, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся? Решение. Применяя признак Лейбница, видим, что ряд является сходящимся: Рассмотрим теперь сходимость ряда , составленного из модулей соответствующих членов. Используя интегральный признак сходимости, получаем Следовательно исходный ряд сходится условно.

Пример 7

Определить, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся? Решение. Сначала применим признак Лейбница: Следовательно, данный ряд сходится. Выясним, является ли эта сходимость абсолютной или условной. Воспользуемся предельным признаком сравнения и сравним соответствующий ряд из модулей с расходящимся гармоническим рядом : Поскольку ряд , составленный из модулей, расходится, то исходный знакочередующийся ряд является условно сходящимся.

Функциональные ряды. Точки и область сходимости.

Функциональные ряды

Формально записанное выражение

(25)

где - последовательность функций от независимой переменной x, называется функциональным рядом.

Примерами функциональных рядов могут служить:

(26)

(27)

Придавая независимой переменной x некоторое значение и подставляя его в функциональный ряд (25), получим числовой ряд

Если он сходится, то говорят, что функциональный ряд (25) сходится при ; если он расходится, что говорят, что ряд (25) расходится при .

Пример 13. Исследовать сходимость ряда (26) при значениях x = 1 и x = - 1.
Решение. При x = 1 получим числовой ряд

который сходится по признаку Лейбница (см. пример 11). При x = - 1 получим числовой ряд

который расходится как произведение расходящегося гармонического ряда на – 1. Итак, ряд (26) сходится при x = 1 и расходится при x = -1.

Если такую проверку на сходимость функционального ряда (1) осуществить относительно всех значений независимой переменной из области определения его членов, то точки этой области разобьются на два множества: при значениях x, взятых в одном из них, ряд (25) сходится, а в другом – расходится.

Множество значений независимой переменной, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

Пример 14. Найти область сходимости ряда

Решение. Члены ряда определены на всей числовой прямой и образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q = sin x. Поэтому ряд сходится, если

и расходится, если

(значения невозможны). Но при значениях и при остальных значениях x. Следовательно, ряд сходится при всех значениях x, кроме . Областью его сходимости служит вся числовая прямая, за исключением этих точек.

Пример 15. Найти область сходимости ряда

Решение. Члены ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q = ln x. Поэтому ряд сходится, если , или , откуда . Это и есть область сходимости данного ряда.

Пример 16. Исследовать сходимость ряда

Решение. Возьмём произвольное значение . При этом значении получим числовой ряд

(*)

Найдём предел его общего члена

при :

Следовательно, ряд (*) расходится при произвольно выбранном, т.е. при любом значении x. Область его сходимости – пустое множество.