ТОП 10:

Площадь и объем в полярных координатах



Пусть S является областью, ограниченной линиями (рисунок 3). Тогда площадь этой области определяется формулой

   
Рис.3    

Объем тела, ограниченного сверху поверхностью с основанием S, выражается в полярных координатах в виде

Пример 1
 
Найти площадь области R, ограниченной гиперболами и вертикальными прямыми . Решение. Область R схематически показана на рисунке 4. Используя формулу для площади области I типа получаем
 
Рис.4   Рис.5

 

Пример 2
 
Вычислить площадь области R, ограниченной линиями . Решение. Сначала определим точки пересечения двух заданных линий. Следовательно, координаты точек пересечения равны Область R представлена на рисунке 5 выше. Будем рассматривать ее как область типа II. Для вычисления площади преобразуем уравнения границ: Получаем
Пример 3
 
Найти объем тела в первом октанте, ограниченного плоскостями . Решение. Данное тело показано на рисунке 6.
   
Рис.6    

Из рисунка видно, что основание R является квадратом. Для заданных x, y значение z изменяется от z = x доz = 4 − x. Тогда объем равен

Пример 4
 
Описать тело, объем которого определяется интегралом . Решение.
 
Рис.7   Рис.8

Данное тело (рис.7,8) расположено над треугольной областью R, ограниченной координатными осями Ox, Oyи прямой y = 1 − x ниже параболической поверхности . Объем тела равен

Пример 5
 
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями . Решение.
 
Рис.9   Рис.10

Данное тело лежит над треугольником R в плоскости Oxy (рисунки 9,10) ниже поверхности z = xy. Объем тела равен

Пример 6
 
Найти объем тела, ограниченного поверхностями . Решение.
 
Рис.11   Рис.12

Как видно из рисунков 11 и 12, в области интегрирования R при значения y изменяются от 1 − x до . Сверху тело ограничено плоскостью z = 1 − x. Следовательно, объем данного тела равен

Вычислим полученные три интеграла отдельно.

Сделаем замену: . Тогда . Видно, что t = 0 при x = 0, и при x = 1. Следовательно,

(Сравните с площадью сектора единичного круга в первом квадранте).

Вычислим второй интеграл , используя замену переменной. Полагаем . Тогда . Находим, что w = 1 при x = 0, и, наоборот, w = 0 при x = 1. Интеграл равен

Наконец, вычислим третий интеграл.

Таким образом, объем тела равен

Пример 7
 
Найти площадь лепестка розы, заданной уравнением . Решение. Рассмотрим лепесток в секторе (рисунок 13). Область интегрирования имеет вид . Следовательно, площадь данной фигуры в полярных координатах равна
 
Рис.13   Рис.14

 

Пример 8
 
Вычислить объем единичного шара. Решение. Уравнение сферы радиусом 1 имеет вид (рисунок 14). В силу симметрии, ограничимся нахождением объема верхнего полушара и затем результат умножим на 2. Уравнение верхней полусферы записывается как Преобразуя это уравнение в полярные координаты, получаем В полярных координатах область интегрирования R описывается множеством . Следовательно, объем верхнего полушара выражается формулой Сделаем замену переменной для оценки последнего интеграла. Пусть . Тогда . Уточним пределы интегрирования: t = 1 при r = 0, и, наоборот, t = 0 при r = 1. Получаем Таким образом, оьъем единичного шара равен
Пример 9
 
Используя полярные координаты, найти объем конуса высотой H и радиусом основания R (рисунок 15). Решение.
 
Рис.15   Рис.16

Сначала получим уравнение поверхности конуса. Используя подобные треугольники (рисунок 16), можно записать

Следовательно,

Тогда объем конуса равен

Пример 10
 
Вычислить площадь cферы радиуса a. Решение. Рассмотрим верхнюю полусферу. Ее уравнение имеет вид Очевидно, область интегрирования R представляет собой круг с таким же радиусом a, расположенный в центре координат. Площадь полусферы вычисляется по формуле Найдем частные производные. Подставляя найденные производные, получаем Преобразуем двойной интеграл в полярные координаты. Площадь поверхности полной сферы, соответственно, равна

26. Определение тройного интеграла.

Чтобы ввести понятие тройного интеграла, предварительно рассмотрим задачу о нахождении массы тела переменной плотности.

Пусть в системе координат Оxyz(рис. 2.18) задано некоторое ограниченное тело U с переменной плотностью γ = f(x;y;z) > 0, (x;y;z) U.

Требуется приближенно вычислить массу этого тела.

Для этого разрежем это тело на n"достаточно мелких частей" ΔUi,
i = 1, 2, ..., n
.

Внутри этого "кусочка" можно принять, что γ const = f (Mi), гдеMi(x;y;z) - некая "средняя" точка в ΔUi.

Обозначим объём "кусочка" ΔUiчерез ΔVi, тогда масса "кусочка" ΔMi: ΔMi ≈ f (Mi) · ΔVi.
А для всего тела:

– получена интегральная сумма.

Затем переходим к пределу при n → ∞ и ΔVi 0, i = 1, 2, ... , n и получаем:

Если предел (2.23) интегральной суммы существует, то он называется тройным интегралом от функции f(x; y; z) по объему U и обозначается:

После этого можно сформулировать более точное и общее определение тройного интеграла.

Определение 2.6.

Пусть f(x; y; z), (x; y; z) U – произвольная функция трех переменных, U – ограниченная трехмерная область

Разобьем U произвольным образом на части ΔU1, ΔU2, ... , ΔUn. В каждой из них возьмем произвольную точку Mi(xi;yi;zi) Ui и составим интегральную сумму:

Если существует предел интегральной суммы:

не зависящий от способа разбиения U на n частей ΔU1, ΔU2, ... , ΔUn, а также от произвола в выборе точек Mi Ui, то этот предел I обозначается через
и называется тройным интегралом от функции f(x; y; z) по объёму U. При этом функция f(x; y; z)называется интегрируемой по U.

Теорема 2.5.

Если f(x; y; z), (x; y; z) U непрерывна, то она интегрируема по U.

Определение 2.7.

Тройные интегралы от непрерывных функций называются собственными тройными интегралами (или просто тройными интегралами), а тройные интегралы от разрывных функций – несобственными тройными интегралами.







Последнее изменение этой страницы: 2016-09-05; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.235.77.252 (0.009 с.)