ТОП 10:

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.



В этой статье мы разберем принципы решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами , где p и q – произвольные действительные числа. Сначала остановимся на теории, далее применим полученные результаты в решении примеров и задач.


Если Вам будут встречаться незнакомые термины, то обращайтесь к разделу определения и понятия теории дифференциальных уравнений.


Сформулируем теорему, которая указывает, в каком виде находить общее решение ЛОДУ.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале интегрирования X коэффициентами определяется линейной комбинацией , где - линейно независимые частные решения ЛОДУ на X, а - произвольные постоянные.


Таким образом, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид y0 = C1 ⋅ y1 + C2 ⋅ y2 , где y1 и y2 – частные линейно независимые решения, а С1 и C2 – произвольные постоянные. Осталось научиться находить частные решения y1 и y2.

Эйлер предложил искать частные решения в виде .

Если принять частным решением уравнения , то при подстановке этого решения в уравнение мы должны получить тождество.

Так мы получили характеристическое уравнение. Решения k1 и k2 этого квадратного уравнения определяют частные решения и нашего ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.


В зависимости от коэффициентов p и q корни характеристического уравнения могут быть:

  1. действительными и различными ,

 

  1. действительными и совпадающими ,

 

  1. комплексно сопряженной парой .

 


В первом случае линейно независимыми частными решениями исходного дифференциального уравнения являются и , общее решение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами есть .

Функции и действительно линейно независимы, так как определитель Вронского отличен от нуля для любых действительных x при .


Во втором случае одним частным решением является функция . В качестве второго частного решения берется . Покажем, что действительно является частным решением ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и докажем линейную независимость y1 и y2.

Так как k1 = k0 и k2 = k0 совпадающие корни характеристического уравнения, то оно имеет вид . Следовательно, - исходное линейное однородное дифференциальное уравнение. Подставим в него и убедимся, что уравнение обращается в тождество:

Таким образом, является частным решением исходного уравнения.

Покажем линейную независимость функций и . Для этого вычислим определитель Вронского и убедимся, что он отличен от нуля.

Вывод: линейно независимыми частными решениями ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами являются и , и общее решение есть при .


В третьем случае имеем пару комплексных частных решений ЛОДУ и . Общее решение запишется как . Эти частные решения могут быть заменены двумя действительными функциями и , соответствующими действительной и мнимой частям. Это хорошо видно, если преобразовать общее решение , воспользовавшись формулами из теории функции комплексного переменного :

где С3 и С4 – произвольные постоянные.


Итак, обобщим теорию.


Алгоритм нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

  1. Записываем характеристическое уравнение k2 + p ⋅ k + q = 0.

 

  1. Находим корни характеристического уравнения k1 и k2.

 

  1. В зависимости от значений корней характеристического уравнения записываем общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами в виде
    • , если ;

 

    • , если ;

 

    • , если .

 

 


Рассмотрим примеры для каждого случая.


Пример.

Найдите общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Решение.

Запишем характеристическое уравнение k2 + 4 ⋅ k + 4 = 0. Найдем его корни

Получили два совпадающих корня, следовательно, общее решение имеет вид .


Пример.

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение.

Мы имеем ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни:

Корни действительные и различные, поэтому, общее решение однородного уравнения имеет вид .


Пример.

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение.

Характеристическое уравнение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
k2 - k + 3 = 0. Найдем его корни:

Получили пару комплексно сопряженных корней характеристического уравнения, следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид







Последнее изменение этой страницы: 2016-09-05; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.206.13.28 (0.005 с.)