Условия монотонности функции.

Если у=f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на этом отрезке, то у=f(x)-const, тогда и только тогда, когда f¢(x)=0 при "х'[a,b]. Следствие у=f(x), y=g(x) непрерывна и диффиренцируема на (a,b) и f¢(x)=g¢(x), то f(x)=g(x)+C.

y=f(x) возрастает на Х, если для любых х₁,х₂'Х, таких что х₁<x₂Þ f(x₁)<f(x₂), убывает если x₁<x₂Þ f(x₁)>f(x₂).

Достаточное условие монотонности. Если функция непрерывна, дифференцируема на (a,b) и внутри (a,b) сохраняет знак, то функция у=f(x) монотонна.

Докажем для f¢(x)>0 Þ y=f(x) – возрастает на (a,b) (для убывающей функции доказательство аналогичное)

Доказательство.

Возьмём точки из отрезка (a,b) х₁ и х₂, такие что х₁<х₂. По теореме Лагранжа найдётся тоска с, приналежащая отрезку, для которой f(x₂)-f(x₁)= f¢(c)(x₂-x₁). Так как х₁<c<x₂, то точка с является внутренней точкой промежутка Х. Поэтому f¢(c)³0 и f(x₂)³f(x₁). Таким образом, мы доказали, что функция f(x) не убывает на промежутке Х.

Условия сущ. экстремула

Необходимое условие существования экстремума. Для того, чтобы дифференцируемая функция f(x) имела в точке х₀ локальный экстремум, необходимо, чтобы в этой точке выполнялось равенство f¢(x₀)=0.

Доказательство.

Поскольку х₀ – точка экстремума, то существует такой интервал (х₀-e, х₀+e), на котором f(x₀) – наибольшее или наименьшее значение. Тогда по теореме Ферма f¢(x₀)=0.

Точки, в которых производная функция обращается в нуль, называются стационарными.

Достаточное условие существование экстремума. Если при переходе через точку х₀ производная дифференцируемой функции f(x) меняет свой знак с плюса на минус, то точка х₀ – точка локального максимума функции f(x), а если с минуса на плюс, то х₀ – точка локального минимума.

Доказательство. (для максимума, для минимума – аналогично, то бишь самостоятельно)

Пусть f(x) – непрерывная дифференцируемая функция. f¢(x) меняет знак с «+» на «-». Пусть для любого хÎ (х₀ -D, х₀] f¢(x)>0 Þ по достаточному условию монотонности производная возрастает на данном интервале Þ f(x₀)³f(x) "CÎ(x₀-D, x₀]

Пусть для "CÎ[х₀,х₀+D) f¢(x)<0, следовательно, функция убывает на хÎ[х₀,х₀+D) Þf(x₀)³f(x) для любого хÎ[х₀,х₀+D).

Вывод: для любого х Î (х₀-D, х₀+D) х₀ – точка максимума для функции у=f(x). Ч.т.д.

Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, заданной на отрезке.

Наибольшее значение достигается в некоторой точке х₀Î [a,b]. При этом возможны лишь следущие 3 случая: 1) х₀=а, 2) х₀=b, 3)х₀Î(a,b). Пусть х₀Î(a,b). Тогда х₀ – точка локального экструмума и, если существует f¢(x₀), f¢(x₀)=0. Однако производная f¢(x₀) может и не существовать.

Критической точкой функции f(x) называется точка, в которой производная f¢(x) либо не существует, либо равна нулю.

Из определения вытекает, что точка локалького экстремума x₀ является критической точкой функции f(x). Предположим, что критические точки функции f(x) на интервале (a; b) образуют конечное множество {x₁,x₂, …,x_n}. Из сказанного выше следует, что точка x₀, в которой функция принимает наибольшее (или наименьшее) значение, совпадает с одной из точек: a,b,x₁,…x_n. Поэтому для максимального значения функции f(x) на отрезке [a,b] имеем равенство f_max=max{f(a),f(b),f(x₁),…f(x_n)}. Аналогично для минимального значения f_min=min { f(a),f(b),f(x₁),…f(x_n)}.

18. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

1. Область определения функции, поведение функции на границе области определения. Асимптоты. Точки пересечения с осями.

(Справка: для нахождения асимптот рассматриваем односторонние пределы (вертикальная асимптота), и пределы при х→∞ для выражений f (x)/х (предел равен к) и f (x)-кх (b) (наклонная асимптота у=кх+b). Подробнее вопр.1.3.

2. Четность, нечетность. Периодичность.

(справка: четная f (-x)= f (x); нечетная f (-x)=- f (x). Периодичность f (x+Т)= f (x)= f (x-Т))

3. Монотонность и экстремумы. (Функции, убывающие или возрастающие на некотором числовом промежутке, называются монотонными. Находим производную, критические точки. промежутки возрастания и убывания, точки максимума и минимума).

4.Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. (Для этого находим вторую производную, точки перегиба, распределяем знаки второй производной: -вогнутая, +выпуклая)

5.График функции с обозначением всех найденных точек и асимптот.

Теорема Ферма

Пусть ф-я у = f(x) определена в некотором промежутке [a;b] и во внутренней точке этого промежутка спринимает наибольшее или наименьшее значение. Если в этой точке существует конечная производная, то она = 0.

С ¹ a, с ¹ b, f(c) – max. Докажем, что f'(c) = 0.

Т.к. f(c) - max, то для всех точек f(x) £ f(c) при xÎ[a;b]

f(x) - f(c) £ 0

Т.к. по условию теоремы в точке с ф-я f имеет производную, то можно рассмотреть производную f'(c) = lim (f(x)-f(c))/(x-c)

1) x-c < 0 f’(c)³ 0ü Þ f’(c) = 0

2) x-c > 0 f’(c)£ 0þ

Теорема Ролля

Эта теорема позволяет отыскать критические точки, а затем с помощью достаточных условий исследовать ф-ю на экстремумы.

Пусть 1) ф-я f(x) определена и непрерывна на некотором замкнутом промежутке [a;b]; 2) существует конечная производная, по крайней мере, в открытом промежутке (a;b); 3) на концах промежутка ф-я принимает равные значения f(a) = f(b). Тогда между точками a и b найдется такая точка с, что производная в этой точке будет = 0.

Док-во:

По теореме о свойстве ф-ий, непрерывных на отрезке, ф-я f(x) принимает на этом отрезке свое max и min значение.

f(x₁) = M – max, f(x₂) = m – min; x₁;x₂ Î [a;b]

1) Пусть M = m, т.е. m £ f(x) £ M

Þ ф-я f(x) будет принимать на интервале от a до b постоянные значения, а Þ ее производная будет равна нулю. f’(x)=0

2) Пусть M>m

Т.к. по условиям теоремы f(a) = f(b) Þ свое наименьшее или наибольшее значение ф-я будет принимать не на концах отрезка, а Þ будет принимать M или m во внутренней точке этого отрезка. Тогда по теореме Ферма f’(c)=0.

Теорема Лагранжа

Пусть 1) ф-я f(x) определена и непрерывна на интервале [a;b]

2) Существует конечная производная, по крайней мере, в открытом интервале (a;b).

Тогда между a и b найдется такая точка с, что для нее выполняется следующее равенство: (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(c), a < c< b

Док-во:

Введем вспомогательную ф-ю F(x).

F(x) = f(x) - f(a) - [(f(b)-f(a))/(b-a)]*(x-a)

Эта ф-я удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

1) она непрерывна как разность между непрерывной и линейной функциями;

2) в открытом интервале (a;b) существует конечная производная этой ф-ии.

F’(x) = f’(x) - (f(b)-f(a))/(b-a)

3) на концах промежутка в точках a и b эта ф-я равна 0

F(a) = f(a) - f(a) - (f(b)-f(a))/(b-a)*(а - а) = 0

F(b) = f(b) - f(a) - (f(b)-f(a))/(b-a)*(b-a) = 0

Þ производная в какой-либо внутренней точке с равна 0. F’(с) = 0

f’(c) - (f(b)-f(a))/(b-a) = 0, отсюда

f’(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)

Геометрическое истолкование

CB/AC = (f(b)-f(a))/(b-a)

На дуге АВ найдется по крайней мере одна точка М, в которой касательная || хорде АВ.