Правило сложения вероятностей.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Правило сложения вероятностей.



Если событие А и В несовместны, то Р{А + В} = Р{А} + Р{В}

Доказательство:

Е, Nраз , NА раз наблюдалось событие А, NВ раз наблюдалось событие В, NА+В раз наблюдалось событие А+В.

Так как А и В несовместны, то NА+В = NА + NВ, NА+В / N = NА / N+ NВ / N.

Если устремить N ® ¥, то получается Р{А + В} = Р{А} + Р{В}

Обобщение: Если А1, А2, … , Аn – попарно несовместны, то

Р{А1 + А2 + … + Аn } = Р{А1} + Р {А2}+ … + Р {Аn}

 

Условная вероятность. Правило умножения вероятностей

Пусть A и В – два случайных события по отношению к некоторому опыту s, причём р(В) не равно нулю. Число р(АВ)/р(В) называется вероятностью события А при условии, что наступило событие В, или просто условной вероятностью события А. Таким образом рв(А) = р(АВ)/р(В). Пусть N – общее число экспериментов, NB - число экспериментов, в которых имело место событие В. NАВ – Число экспериментов, в которых имели место события А и В одновременно. Отношение NАВ/NB – частота события А при условии, что наступило событие В.

р(АВ)=рВ(А)р(В) – Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из этих событий при условии другого, умноженной на вероятность самого условия. Аналогичная формула справедлива для трёх событий. р(А1А2А3)=р(А1А12А1А23)

 

А не зависит от В, если выполняется равенство рВ(А)=р(А). Наступление В не оказывает влияния на наступление события А.

Правило умножения вероятностей - Если событие А не зависит от В, то справедливо равенство р(АВ)=р(А)р(В). (веростность произведения равна произведению вероятностей)

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Если события Н1, Н2,…,Нn попарно несовместны и образуют полную группу, то для вероятности любого события А справедлива формула р(А)=рН11)р(Н1)+рН2(А)р(Н2)+…+рHn(А)р(Нn). Вероятность события А равна сумме произведений условных вероятностей этого события по каждой из гипотез на вероятность самих гипотез.

Формула Байеса. (условие – событие А может наступить только с одной из гипотез). Эта формула определяет вероятность, что имела место именно эта гипотеза.

Вывод формулы.

p(AHi)=pHi(A)p(Hi)

p(HiA)=pA(Hi)p(A) приравниваем правые части, получим

pHi(A)p(Hi)=pA(Hi)p(A) воспользуемся формулой полной вероятности.

pA(Hi)= рHi(A)p(Hi) .

рН11)р(Н1)+рН2(А)р(Н2)+…+рHn(А)р(Нn)

Дискретная СВ и ее закон распределения.

Величина, принимающая в результате испытания (опыта) определенное значение, называется случайной величиной. СВ Х называется дискретной, если существует конечное и счетное множество S={х1, х2,…} такое, что Р(ХÎS)=1. Числа х1, х2,…называются возможными значениями СВ Х.

Пусть рi=Р(Х=хi) – вероятность возможного i-го значения. При хi ≠ хj события Х=хi и Х= хj несовместны. Применяя правило сложения вероятностей для несовместных событий получим:

 

Таблица

Х х1 х2
Р р1 р2

называется законом распределения дискретной СВ Х. Для любой СВ функция распределения – F(x)=P(X<x) . В случае дискретной СВ функция распределения имеет вид

 

 

 

F(x) – ступенчатая функция со скачками в х1, х2,…, причем величины скачков равны р1, р2,…

Числовые хар-ки СДВ.

Математическим ожиданием дискретной СВ Х, множество возможных значений которой конечно, называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности: М(Х)=х1р12р2+…+хnpn

Свойства. 1.Матем. ожидание константы равно константе: М(С)=С

2.Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х)

3.Математическое ожидание суммы СВ равно сумме мат. ожиданий слагаемых:

М(Х1+Х2+…+Хn)=M(X1)+M(X2)+…+M(Xn)

4.Математическое ожидание произведений независимых СВ равно произведению математических ожиданий сомножителей. (дискр.СВ наз. независимыми, если Р(Х11,…Хn=an)=P(X1=a1)*…Р(Xn=an).

Для любой СВ Х разность Х-М(Х) называется отклонением Х. Математическое ожидание квадрата отклонения СВ Х называется дисперсией Х. По определению D(X)=M(X-M(X))2.

Стандартное отклонение СВ Х определяется как корень квадратный из дисперсии и обозначается s(х). Из свойств математического ожидания: D(X)=M(X2)-M(X)2

Свойства. 1.Прибавление (вычитание) константы к СВ не меняет ее дисперсии D(X+C)=D(X)

2.Постоянный множитель выносится из-под знака дисперсии в квадрате D(СX)=С2D(X)

3.Дисперсия суммы независимых СВ равна сумме дисперсий слагаемых D(X1+…+Xn)=D(X1)+…+ D(Xn)

Важно помнить, что дисперсия константы равна 0: D(C)=0

Начальным моментом порядка К СВ Х называют математическое ожидание величины Хк : nк=М(Хк)

Центральным моментом порядка к случайной величины Х называют математическое ожидание величины (Х-М(Х)) к

mк=М[(X-M(X)) к]

Cоотношение, связывающее начальные и центральные моменты: m2=n2-n12

При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные характеристики – асимметрию и эксцесс (для нормального распределения эти характеристики равны 0). Асимметрией теоретического распределения (теоретическим называют распределение вероятностей) называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения: Аs=m3\s3

Эксцессом теоретического распределения называют характеристику, которая определяется следующим равенством: Ек=(m4\s4)-3

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-21; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.214.224 (0.009 с.)