![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.Содержание книги Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Линейным уравнением 1-го порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производной. Оно имеет вид:
где P(x) и Q(x) – заданные непрерывные функции от x. Если функция и называется линейным однородным уравнением, в противном случае Линейное однородное дифференциальное уравнение (7.2) является уравнением с разделяющимися переменными:
Выражение (7.3) есть общее решение уравнения (7.2). Чтобы найти общее решение уравнения (7.1), в котором функция P(x) обозначает ту же функцию, что и в уравнении (7.2), применим прием, называемый методом вариации произвольной постоянной и состоящий в следующем: постараемся подобрать функцию С=С(x) так, чтобы общее решение линейного однородного уравнения (7.2) являлось бы решением неоднородного линейного уравнения (7.1). Тогда для производной функции (7.3) получим:
Подставляя найденную производную в уравнение (7.1), будем иметь: или Откуда Первое слагаемое в этой формуле представляет общее решение (7.3) линейного однородного дифференциального уравнения (7.2), а второе слагаемое формулы (7.4) есть частное решение линейного неоднородного уравнения (7.1), полученное из общего (7.4) при Теорема. Если известно одно частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения Однако надо отметить, что для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 1-го порядка (7.1) чаще применяется другой метод, иногда называемый методом Бернулли. Будем искать решение уравнения (7.1) в виде Объединим, например, второе и третье слагаемые последнего выражения и вынесем функцию u(x) за скобку: Потребуем обращения в нуль круглой скобки: Решим это уравнение, полагая произвольную постоянную C равной нулю: Решая его, получим: Следовательно, общее решение уравнения (7.1) имеет вид:
Уравнение Бернулли. Определение. Дифференциальное уравнение вида Предполагая, что Введем новую функцию
9. В первом случае линейно независимыми частными решениями заданного дифференциального уравнения оказываются
Функции не равен нулю для всяких действительных x при
Во втором случае первым частным решением уравнения есть функция Докажем, что Исходя из того, что k1 = k0 и k2 = k0 являются совпадающими корнями характеристического уравнения, значит, уравнение принимает вид:
Следовательно, Подставив в это уравнение
Т.о.,
Докажем то, что функции
Вывод: линейно независимыми частными решениями линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
В третьем случае есть два комплексных частных решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Такие частные решения можно заменить 2-мя действительными функциями
используя формулы из теории функции комплексного переменного вида:
И в подведение итога, обобщим теорию: Алгоритм нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
10. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид Сформулируем теорему, которая показывает в каком виде искать общее решение ЛНДУ. Теорема. Общее решение на интервале X линейного неоднородного дифференциального уравнения Таким образом, общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами является сумма общего решения соответствующего ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и частного решения исходного ЛНДУ: Существует несколько методов нахождения частного решения ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Методы выбираются в зависимости от вида функции f(x), стоящей в правой части уравнения. Перечислим их и разберем решения соответствующих линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
1. Если f(x) является многочленом n-ой степени f(x) = Pn(x), то частное решение ЛНДУ ищется в виде 2. Если функция f(x) представлена произведением многочлена степени n и экспоненты 3 Если функция f(x) имеет вид 4 Если
Для любого другого вида функции f(x) применяется следующий алгоритм действий: · находится общее решение соответствующего линейного однородного уравнения как y0 = C1 ⋅ y1 + C2 ⋅ y2, где y1 и y2 - линейно независимые частные решения ЛОДУ, а С1 и С2 – произвольные постоянные; · варьируются произвольные постоянные, то есть, в качестве общего решения исходного ЛНДУ принимается y = C1(x) ⋅ y1 + C2(x) ⋅ y2; · производные функций C1(x) и С2(x) определяются из системы уравнений
|
||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-07-11; просмотров: 424; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.221.93.44 (0.012 с.) |