Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Линейным уравнением 1-го порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производной. Оно имеет вид:

, (7.1)

где P(x) и Q(x) – заданные непрерывные функции от x. Если функция , то уравнение (7.1) имеет вид: (7.2)

и называется линейным однородным уравнением, в противном случае оно называется линейным неоднородным уравнением.

Линейное однородное дифференциальное уравнение (7.2) является уравнением с разделяющимися переменными:

(7.3)

Выражение (7.3) есть общее решение уравнения (7.2). Чтобы найти общее решение уравнения (7.1), в котором функция P(x) обозначает ту же функцию, что и в уравнении (7.2), применим прием, называемый методом вариации произвольной постоянной и состоящий в следующем: постараемся подобрать функцию С=С(x) так, чтобы общее решение линейного однородного уравнения (7.2) являлось бы решением неоднородного линейного уравнения (7.1). Тогда для производной функции (7.3) получим:

.

Подставляя найденную производную в уравнение (7.1), будем иметь:

или .

Откуда , где - произвольная постоянная. В результате общее решение неоднородного линейного уравнения (7.1) будет (7.4)

Первое слагаемое в этой формуле представляет общее решение (7.3) линейного однородного дифференциального уравнения (7.2), а второе слагаемое формулы (7.4) есть частное решение линейного неоднородного уравнения (7.1), полученное из общего (7.4) при . Этот важный вывод выделим в виде теоремы.

Теорема. Если известно одно частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения , то все остальные решения имеют вид , где - общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Однако надо отметить, что для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 1-го порядка (7.1) чаще применяется другой метод, иногда называемый методом Бернулли. Будем искать решение уравнения (7.1) в виде . Тогда . Подставим найденную производную в исходное уравнение: .

Объединим, например, второе и третье слагаемые последнего выражения и вынесем функцию u(x) за скобку: (7.5)

Потребуем обращения в нуль круглой скобки: .

Решим это уравнение, полагая произвольную постоянную C равной нулю: . С найденной функцией v(x) вернемся в уравнение (7.5): .

Решая его, получим: .

Следовательно, общее решение уравнения (7.1) имеет вид:

.

Уравнение Бернулли.

Определение.

Дифференциальное уравнение вида , где , называется уравнением Бернулли.

Предполагая, что , разделим обе части уравнения Бернулли на . В результате получим: (8.1)

Введем новую функцию . Тогда . Домножим уравнение (8.1) на и перейдем в нем к функции z(x): , т.е. для функции z(x) получили линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Это уравнение решается методами, разобранными в предыдущем параграфе. Подставим в его общее решение вместо z(x) выражение , получим общий интеграл уравнения Бернулли, который легко разрешается относительно y. При добавляется решение y(x)=0. Уравнение Бернулли можно также решать, не делая перехода к линейному уравнению путем подстановки , а применяя метод Бернулли, подробно разобранный в § 7. Рассмотрим применение этого способа для решения уравнения Бернулли на конкретном примере.

Уравнения в полных дифференциалах

Определение уравнения в полных дифференциалах Дифференциальное уравнение вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных u(x,y)с непрерывными частными производными, что справедливо выражение du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy. Общее решение уравнения в полных дифференциалах определяется формулой u(x,y)=C, где C − произвольная постоянная. Необходимое и достаточное условие Пусть функции P(x,y) и Q(x,y) имеют непрерывные частные производные в некоторой области D.Дифференциальное уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 будет являться уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, если справедливо равенство: ∂Q∂x=∂P∂y. Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах 1. Сначала убедимся, что дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, используя необходимое и достаточное условие: ∂Q∂x=∂P∂y. 2. Затем запишем систему двух дифференциальных уравнений, которые определяют функцию u(x,y): {∂u∂x=P(x,y)∂u∂y=Q(x,y). 3. Интегрируем первое уравнение по переменной x. Вместо постоянной C запишем неизвестную функцию, зависящую от y: u(x,y)=∫P(x,y)dx+φ(y). 4. Дифференцируя по переменной y, подставим функцию u(x,y) во второе уравнение: ∂u∂y=∂∂y[∫P(x,y)dx+φ(y)]=Q(x,y). Отсюда получаем выражение для производной неизвестной функции φ(y): φ′(y)=Q(x,y)−∂∂y(∫P(x,y)dx). 5. Интегрируя последнее выражение, находим функцию φ(y) и, следовательно, функцию u(x,y): u(x,y)=∫P(x,y)dx+φ(y). 6. Общее решение уравнения в полных дифференциалах записывается в виде: u(x,y)=C. Примечание: На шаге 3, вместо интегрирования первого уравнения по переменной x, мы можем проинтегрировать второе уравнение по переменной y. После интегрирования нужно определить неизвестную функцию ψ(x).

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение 2xydx+(x2+3y2)dy=0. Решение. Данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, поскольку соответствующие частные производные равны: ∂Q∂x=∂∂x(x2+3y2)=2x,∂P∂y=∂∂y(2xy)=2x. Запишем следующую систему дифференциальных уравнений для определения функции u(x,y): {∂u∂x=2xy∂u∂y=x2+3y2. Интегрируя первое уравнение по x, получаем: u(x,y)=∫2xydx=x2y+φ(y). Подставляем выражение для u(x,y) во второе уравнение: ∂u∂y=∂∂y[x2y+φ(y)]=x2+3y2,⇒x2+φ′(y)=x2+3y2,⇒φ′(y)=3y2. Интегрируя последнее уравнение, находим неизвестную функцию φ(y): φ(y)=∫3y2dy=y3, так что общее решение данного уравнения в полных дифференциалах имеет вид: x2y+y3=C, где C − произвольная постоянная.

9. В первом случае линейно независимыми частными решениями заданного дифференциального уравнения оказываются и , а общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами оказывается:

.

Функции и в самом деле являются линейно независимыми, потому что определитель Вронского

не равен нулю для всяких действительных x при

.

Во втором случае первым частным решением уравнения есть функция . Вторым частным решением берут .

Докажем, что в самом деле можно считать частным решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и произведем доказательство линейной независимости y₁ и y₂.

Исходя из того, что k₁ = k₀ и k₂ = k₀ являются совпадающими корнями характеристического уравнения, значит, уравнение принимает вид:

.

Следовательно, - исходное ЛОДУ.

Подставив в это уравнение увидим, что уравнение становится тождеством:

Т.о., можно легко назвать частным решением исходного уравнения.

 

Докажем то, что функции и являются линейно независимыми. Для этого нам необходимо просчитать определитель Вронского и определить, что он не равен нулю:

Вывод: линейно независимыми частными решениями линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами можно назвать и , и общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами является:

при .

В третьем случае есть два комплексных частных решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и . Общее решение записываем так:

.

Такие частные решения можно заменить 2-мя действительными функциями и , которые соответствуют действительной и мнимой частям. Преобразовав общее решение уравнения это можно легко заметить:

,

используя формулы из теории функции комплексного переменного вида:

:

где С₃ и С₄ являются произвольными постоянными.

 

И в подведение итога, обобщим теорию:

Алгоритм нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

10. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , где p и q – произвольные действительные числа, а функция f(x) – непрерывна на интервале интегрирования X.

Сформулируем теорему, которая показывает в каком виде искать общее решение ЛНДУ.

Теорема.

Общее решение на интервале X линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале интегрирования X коэффициентами и непрерывной функцией f(x) равно сумме общего решения соответствующего ЛОДУ и какого-нибудь частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть, .

Таким образом, общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами является сумма общего решения соответствующего ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и частного решения исходного ЛНДУ: . Нахождение описано в статьелинейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и нам осталось научиться определять .

Существует несколько методов нахождения частного решения ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Методы выбираются в зависимости от вида функции f(x), стоящей в правой части уравнения. Перечислим их и разберем решения соответствующих линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

 

1. Если f(x) является многочленом n-ой степени f(x) = P_n(x), то частное решение ЛНДУ ищется в виде , где Q_n(x) – многочлен степени n, а r – количество корней характеристического уравнения, равных нулю. Так как - частное решение уравнения , то коэффициенты, определяющие многочлен Q_n(x), находятся методом неопределенных коэффициентов из равенства .

2. Если функция f(x) представлена произведением многочлена степени n и экспоненты , то частное решение ЛНДУ второго порядка ищется в виде , где Q_n(x) – многочлен n-ой степени, r – число корней характеристического уравнения, равных . Коэффициенты многочлена Q_n(x) определяются из равенства .

3 Если функция f(x) имеет вид , где А₁ и В₁ – числа, то частное решение ЛНДУ представляется как , где А и В – неопределенные коэффициенты, r – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения равных . Коэффициенты многочлена А и В находятся из равенства .

4 Если , то , где r – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения, равных , P_n(x), Q_k(x), L_m(x) и N_m(x) - многочлены степени n, k, m и m соответственно, m = max(n, k). Коэффициенты многочленов L_m(x) и N_m(x) находятся из равенства .

Для любого другого вида функции f(x) применяется следующий алгоритм действий:

· находится общее решение соответствующего линейного однородного уравнения как y₀ = C₁ ⋅ y₁ + C₂ ⋅ y₂, где y₁ и y₂ - линейно независимые частные решения ЛОДУ, а С₁ и С₂ – произвольные постоянные;

· варьируются произвольные постоянные, то есть, в качестве общего решения исходного ЛНДУ принимается y = C₁(x) ⋅ y₁ + C₂(x) ⋅ y₂;

· производные функций C₁(x) и С₂(x) определяются из системы уравнений , а сами функции C₁(x) и C₂(x) находятся при последующем интегрировании.