Линейные Дифференциальные уравнения высшего порядка. Свойства решений.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 14Следующая ⇒

Дифференциальное уравнение -го порядка называется Линейным, если неизвестная функция и все ее производные входят в уравнение линейно, то есть если уравнение имеет вид , (3.1) Где , , , …, – некоторые функции независимой переменной, называемые коэффициентами дифференциального уравнения, а функция называется правой частью. Пусть все функции , , непрерывны в интервале и . Разделим уравнение (3.1) почленно на коэффициент при старшей производной и обозначим , , . Тогда уравнение (3.1) примет вид . (3.2) При этом все функции , , и непрерывны в . Разрешим уравнение (3.2) относительно . Продифференцируем правую часть этого равенства по , , , …, . Производные будут соответственно равны: , , …, . Поскольку эти функции непрерывны в , то в силу теоремы Коши решение уравнения (3.2) с начальными условиями (1.2) существует и единственно. Если правые части уравнений (3.1) и (3.2) равны нулю, то линейные уравнения называются Однородными. Однородное линейное уравнение имеет вид: . (3.3) Если же в уравнении (3.2) , то линейное уравнение называется Неоднородным. Вначале будут рассматриваться только однородные линейные уравнения, то есть уравнения вида (3.3).

Рассмотрим уравнение вида

Определение. Выражение называется линейным дифференциальным оператором.

Линейный дифференциальный оператор обладает следующими свойствами:

1)

2)

Решения линейного однородного уравнения обладают следующими свойствами:

1) Если функция у₁ является решением уравнения, то функция С у₁, где С – постоянное число, также является его решением.

2) Если функции у₁ и у₂ являются решениями уравнения, то у₁ +у₂ также является его решением.

Линейные Дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера.

Определение Совокупность уравнений Вида (8.7.1) Где X –независимая переменная, – искомые функции, – их производные, называется Системой дифференциальных уравнений первого порядка. Система дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных от неизвестных функций, называется Нормальной системой дифференциальных уравнений и имеет следующий общий вид: . (8.7.2) Совокупность n функций (8.7.3) Определенных в интервале , называется Решением нормальной системы (8.7.2), если эти функции при подстановке в уравнение системы (8.7.2) обращают их в тождество.

Теорема (Коши)

Пусть для системы дифференциальных уравнений первого порядка (8.7.2) выполняются следующие условия:

- функции определены и непрерывны по всем аргументам в замкнутой области ,

- частные производные непрерывны в области .

Тогда Существует одна и только Одна система решений уравнений (2):

,

(8.7.4)

Определенная в некоторой окрестности точки и Удовлетворяющая в этой точке заданным Начальным условиям:

.

(8.7.5)

Условия (8.7.5) называются Начальными условиями решения, а задача отыскания решения по заданным начальным условиям – Задачей Коши.

Совокупность n функций

(8.7.6)

Зависящих от x и n произвольных постоянных , будем называть Общим решением Системы (8.7.2) в некоторой области , если при любых значениях постоянных эти функции представляют решение системы и если любое решение этой системы может быть записано в виде (8.7.6) при некоторых значениях постоянных .

Совокупность n функций

(8.7.7)

Получающееся из общего решения (6) системы (8.7.2) при определенных значениях постоянных будем называть частным решением системы (8.7.2).

Если в области выполнены условия теоремы Коши, то для нахождения частного решения (8.7.7) достаточно разрешить уравнения

(8.7.8)

Относительно и подставить найденные значения постоянных в соотношения (8.7.6).

Одним из основных методов нахождения решения нормальных систем является метод исключения постоянных. С помощью этого метода данная система сводится к одному уравнению n–го порядка относительно одной неизвестной функции.