Интегрирование по частям в определённом интеграле

Интегрирование по частям. Пусть и -- дифференцируемые функции на отрезке. Тогда

Доказательство. Соотношение проинтегрируем от а до b получим что эквивалентно (2).

Пример 2. Вычислим

Заметим, что при условии

Вычисление определенного интеграла заменой переменных и по частям.

Теорема. Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке , , и функция непрерывна в каждой точке вида , где .

Тогда справедливо следующее равенство

Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

Теорема. Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда

где .

Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

 

20 Несобственные интегралы I и II рода. Определение. Метод исследования на сходимость.

Исследование на сходимость и вычисление

Чтобы существовал определенный интеграл, то есть существовал предел интегральной суммы, должны выполняться два условия:

1. Отрезок (интервал) интегрирования кончен.	2. Подынтегральная функция на не имеет разрывов второго рода.
Cправка.В точке имеется разрыв второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке бесконечен или не существует: (см. тему 4, схема классификации разрывов). Практически для определения точки разрыва надо найти точки, которые не входят в область допустимых значений, например, такие, в которых знаменатель обращается в ноль.
Если не выполняется одно из условий (но не оба сразу), определенный интеграл не существует и вводится понятие несобственного интеграла (НИ).
1. Отрезок интегрирования бесконечен, подынтегральная функция на нем непрерывна.	2. Подынтегральная функция имеет хотя бы один разрыв второго рода на , отрезок интегрирования конечен.
Несобственный интеграл первогорода – по бесконечному отрезку (НИ-1)	Несобственный интеграл второгорода – от разрывной функции (НИ-2)
Несобственные интегралы определяются как пределы, к которым стремятся определенные интегралы при соответствующих условиях.
* (А) (В)	* (А^1) (В^1)
Третий случай (для НИ и первого и второго рода) сводится к сумме двух первых.	Квадратными скобками отмечены точки разрывов подынтегральной функции.
* Если пределы, стоящие в правых частях равенств, определяющих несобственные интегралы,существуют и конечны, то несобственные интегралы сходятся, в противном случае расходятся (предел не существует или бесконечен - ).

Сходящиеся несобственные интегралы обладают всеми свойствами определенных интегралов.

Вопрос о сходимости несобственных интегралов можно решить двумя способами.

1.

Непосредственное вычисление. Если несложно определить первообразную, то можно вычислить определенный интеграл, затем найти его предел при поставленных условиях и сделать заключение:

· если при вычислении несобственного интеграла получено любое число, то он сходится (к этому числу);

· если получена или предел не существует, то несобственный интеграл расходится.

 

2.

Применение признака сравнения. Не приводя теоремы о признаке сравнения, ограничимся только выводом из нее – практическим способом исследования несобственных интегралов на сходимость.

1 - Сравнивают подынтегральную функцию с функцией, вполне определенной для несобственных интегралов первого и второго рода.

Для НИ-1	Для НИ-2
	- (А^1) или - (В^1)
. О несобственных интегралах от этих функций известно:
	так же для

Сравнение происходит путем определения функции, эквивалентной подынтегральной при условиях (см. тему 4, вычисление пределов):

· для НИ-1: ; ;

· для НИ-2 (или ) - к точке разрыва функции, .

 

Несобственные интегралы

Пусть функция задана на полуинтервале , где , а величина может быть как конечным числом, так и . Предположим, что интегрируема на любом отрезке, . Полагаем по определению

и называем это число несобственным интегралом. В случае, когда предел (1) существует, то говорим, что соответствующий интеграл сходится; в противном случае будем говорить, что он расходится.

Пусть функция определена для всех , где - некоторое число, и интегрируема на любом отрезке , где . Если существует конечный предел

,

то говорят, что функция интегрируема в несобственном смысле на промежутке . Этот предел называется несобственным интегралом с бесконечным пределом или несобственным интегралом первого рода и обозначается

Обычно, если конечный предел существует, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же конечного предела не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится.