Интегрирование биноминальных дифференциалов.

Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение

X m (a + b x n)p dx

где m, n, и p – рациональные числа.

Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:

1. Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки

, где l - общий знаменатель m и n.

2. Если - целое число, то интеграл рационализируется подстановкой

, где s – знаменатель числа р.

3) Если - целое число, то используется подстановка , где s – знаменатель числа р.

 

 

18 Определенный интеграл. Определение. Основные свойства. Формула Ньютона –Лейбница.

Основные методы вычисления определенных интегралов
1. Формула Ньютона – Лейбница. Если - первообразная непрерывной функции на отрезке , то справедлива Формула Ньютона – Лейбница: . (7)

Определение. Определённым интегралом функции на отрезке называется предел интегральных сумм, если параметр разбиения стремиться к нулю:

Это значит, что определенный интеграл есть такое число , что для любого сколь угодно малого найдется такое (зависящее от ), что для любого разбиения (1) с параметром интегральная сумма отличается от меньше чем на:

Функция называется подинтегральной, называется подинтегральным выражением. Число называется нижним пределом интегрирования, а – верхним пределом интегрирования.

Формула Ньютона-Лейбница

Интеграл вида называют интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке. Тогда есть первообразная функции:

для любого .

Доказательство. Пусть . Тогда по теореме о среднем

для некоторой точки Следовательно, при, ибо в этом случае , а функция непрерывна.□

Формула Ньютона-Лейбница. Пусть -- первообразная функции. Тогда

Доказательство. Для функции имеем в распоряжении две первообразных и. По теореме о первообразных найдется константа такая, что

Подставим в соотношение (3) вместо сначала и получим , а затем подставим в (3) – получим

что и требовалось доказать.

Свойства определенного интеграла.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е.

4. Если на отрезке , то и

,

т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.

 

Основная теорема интегрального исчисления – формула Ньютона-Лейбница.

Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке и — любая первообразная для на . Тогда определенный интеграл от функции на равен приращению первообразной на этом отрезке, т.е.

Нахождение определенных интегралов с использованием формулы Ньютона—Лейбница осуществляется в два шага: на первом шаге, используя технику нахождения неопределенного интеграла, находят некоторую первообразную для подынтегральной функции ; на втором применяется собственно формула Ньютона—Лейбница — находится приращение первообразной, равное искомому интегралу.

 

 

19 Замена переменной и интегрирование «по частям» в определенном интеграле.

Теорема Пусть: 1) – непрерывная функция на отрезке ; 2) функция дифференцируема на , а непрерывна на ; 3) , . Тогда справедлива формула (7.13.1) Формула (7.13.1) называется Формулой замены переменной или Подстановки в определенном интеграле. Заметим, что при вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной нет нужды возвращаться к прежней переменной, как при вычислении неопределенного интеграла, так как определенный интеграл представляет собой число, которое, согласно формуле (7.13.1) равно значению каждого из рассматриваемых интегралов. Теперь при подстановке следует сначала найти новые пределы интегрирования и выполнить необходимые преобразования подынтегральной функции.

 

.