Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Общий вид уравнения первого порядка
Если уравнение (1) удается разрешить относительно , то получится уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.
Задачей Коши называют задачу нахождения решения уравнения , удовлетворяющего начальному условию (другая запись ). Дифференциальные уравнения первого порядка., допускающее аналитическое решение.
Существование и единственность решения дифференциального уравнения Определение Решением Дифференциального уравнения первого порядка называется функция , определенная на некотором интервале , которая при подстановке уравнение (8.2.1) обращает его в тождество. В теории дифференциальных уравнений основной задачей является вопрос о существовании и единственности решения. Ответ на него дает Теорема Коши, которую мы приводим без доказательств. Теорема: (Теорема Коши). Пусть дано дифференциальное уравнение (8.2.2). Если функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области плоскости , тогда: Для любой внутренней точки Найдется решение уравнения (8.2.2), удовлетворяющее условию при . Если два решения и уравнения (8.2.2) совпадают хотя бы для одного значения , т. е. , то эти решения Совпадают для всех . При соблюдении условий Теоремы Коши через каждую внутреннюю точку области проходит только одна интегральная кривая. Условия, которые задают значение функции в фиксированной точке , есть Начальные условия (или Условия Коши) и записываются в такой форме:
Задача нахождения решения уравнения (8.2.2), удовлетворяющих условию (8.2.3) называется Задачей Коши или иными словами – из множества интегральных кривых выделяется та, которая проходит через заданную точку области .
В ряде случаев, когда условия теоремы Коши не выполнены, через некоторые точки плоскости либо не проходит ни одна интегральная кривая, либо проходит более одной интегральной кривой. Эти точки называются Особыми точками данного дифференциального уравнения. Приведем Пример использования теоремы Коши. Пример: Решить уравнение
Решение В данном случае , определены и дифференцируемы при любых и . Следовательно, условия теоремы выполнены на всей плоскости . Функция является Решением уравнения. Покажем, что это решение является общим решением уравнения (8.2.4). Пусть существует какое–либо другое решение уравнения (8.2.4) . Пусть – точка, в которой это решение определено, и . Положим, что , тогда . В этом случае решения уравнения (8.2.4) совпадают в точке . Следовательно, решение уравнения (8.2.4) единственно при конкретном значении константы . Определение Общим решением уравнения (8.2.2) называется функция , удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении постоянной . Определение Частным решением уравнения (8.2.2) в области называется функция , полученная при определенном значении постоянной .
|
||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-16; просмотров: 213; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.133.109.211 (0.006 с.) |