Несобственный интеграл второго рода определяется по формуле

.

Если предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же предел бесконечный либо вообще не существует, то говорят, что интеграл расходится.

 

К несобственным интегралам применимы методы замены переменной и интегрирования по частям.

 

Приложения определенного интеграла. Вычисление площади.

Пусть плоская фигура ограничена кривыми И , при условии, что функции - непрерывны и , и вертикальными прямыми и . Тогда площадь данной фигуры вычисляется по формуле: . (16) Если фигура ограничена кривой, которая задана параметрическими уравнениями , , прямыми и осью , то площадь данной фигуры вычисляется по формуле: , (17) Где . Если фигура ограничена кривой, которая задана уравнением в полярных координатах , и двумя лучами , то площадь данной фигуры вычисляется по формуле: . (18)

Вычисление площадей плоских фигур.

Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла площадь под кривой на численно равна определенному интегралу , т.е. .

Теорема. Пусть на отрезке заданы непрерывные функции и такие, что . Тогда площадь фигуры, заключенной между кривыми и , на отрезке вычисляется по формуле

Приложение определенного интеграла. Вычисление длины дуги, Объема тела

Объём тела
Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси , является непрерывной функцией на отрезке , то объём тела вычисляется по формуле: . (25) Объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривыми , () и прямыми , вычисляется по формуле: . (26) Задание 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и . Сделать чертеж. Решение. Найдем точки пересечения кривых: , Откуда . Тогда по формуле вычисления площади плоской фигуры (16) имеем: Сделаем чертеж.

Вычисление длины дуги плоской кривой

1 случай. Пусть в прямоугольных координатах на плоскости дана кривая . Вычислим длину дуги кривой, заключенной между точками и

(рис. 12).

Возьмем на дуге точки с абсциссами и проведем хорды , длины которых обозначим соответственно . Тогда получим ломанную , вписанную в дугу. Длина ломанной равна

.

Определение. Длиной дуги называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломанной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю:

.

Длина всей дуги, заключенной между точками и, вычисляется по формуле

.

Дифференциальные уравнения. Основные понятия. Определения.

Основные понятия
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и её производные (1) Порядок наивысшей производной, входящей в данное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Функция называется Решением дифференциального уравнения (1) на промежутке , если уравнение (1) при подстановке в него функции вместе со своими производными обращается в тождество: . Общим решением дифференциального Уравнения (1) называется функция , (2) Зависящая от переменой и произвольных постоянных и удовлетворяющая следующим условиям: 1) при любых значениях произвольных постоянных функция (2) является решением уравнения (1); 2) любое решение уравнения (1) может быть получено из функции (2) при соответствующих значениях постоянных . Уравнение , определяющее общее решение уравнения (1) как неявную функцию, называется Общим интегралом Дифференциального уравнения (1). Задача нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего начальным условиям: , Где - заданные числа называется Задачей Коши

Определение

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется Обыкновенным, если от нескольких – то Уравнением в частных производных.

Простейший Пример дифференциального уравнения дает задача о нахождении первообразной для заданной функции , поскольку ее можно рассматривать как задачу о нахождении функции , удовлетворяющей уравнению .

В общем случае Дифференциальное уравнение можно записать в виде

,

(8.1.1)

Где – некоторая функция от переменных, при этом порядок старшей производной, входящей в запись уравнения, называется Порядком дифференциального уравнения.

Основной задачей теории обыкновенных дифференциальных уравнений является нахождение функций, представляющих собой решения этих уравнений.

Определение

Решением дифференциального уравнения (8.1.1) называется такая функция , которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество.

Например, функция является решением уравнения , так как для всех .

Задача о нахождении решения некоторого дифференциального уравнения называется Задачей интегрирования данного дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется Интегральной кривой.

Пример

Решить уравнение .

Решение

Поскольку , то исходное уравнение равносильно следующему равенству дифференциалов . Выполняя по членное интегрирование получаем , где – произвольная постоянная. Вновь записывая производную как отношение двух дифференциалов, приходим к равенству , интегрируя почленно окончательно получаем , где – произвольная постоянная.

Отметим, что без дополнительных предположений решение данного уравнения принципиально неоднозначно. Другими словами, дифференциальное уравнение задает семейство интегральных кривых на плоскости. Для выделения однозначно определенной интегральной кривой (решения) в нашем случае достаточно указать точку плоскости, через которую проходит искомая интегральная кривая, и направление, в котором она проходит через эту точку.

Дополнительные условия такого рода обычно называют Начальными условиями, поскольку часто дифференциальные уравнения используются для описания динамических процессов – процессов, происходящих во времени.

Для выделения однозначно определенного решения дифференциального уравнения –го порядка следует, вообще говоря, дополнительно задать начальных условий.

Определение

Общим решением дифференциального уравнения (8.1.1) –го порядка называется такое его решение

,

(8.1.2)

Которое является функцией переменной и произвольных независимых постоянных.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при заданных конкретных значениях констант.

В нашем Примере – общее решение, – частное решение дифференциального уравнения .

Чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют кривые заданного семейства (8.1.2), нужно продифференцировать равенство раз, а затем из полученных равенств исключить константы.

Пример

Составить дифференциальное уравнение семейства кривых .

Решение

Дифференцируя заданную функцию, находим , . Исключая из этих двух равенств , приходим к уравнению

Основные понятия и определения дифференциальных уравнений

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и её производные , т. е. уравнение вида

Если искомая функция есть функция одной независимой переменной, дифференциальное уравнение называется обыкновенным;

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например, дифференциальное уравнение — уравнение первого порядка, дифференциальное уравнение , где — известная функция, — уравнение второго порядка; дифференциальное уравнение — уравнение 9-го порядка.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале называется функция , определенная на интервале вместе со своими производными до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка функции в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество