Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Техника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ? Влияние общества на человека Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления	Главная Избранные Случайная статья Познавательные Новые добавления Обратная связь FAQ Дифференциал функции нескольких переменных ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 14Следующая ⇒ Дифференциал функции нескольких переменных определяется как линейная (относительно приращений аргументов) часть приращения дифференцируемой функции , где dxi º Dxi (i=1,..., m), если x1,..., xm - независимые переменные. Как и в случае одной переменной первый дифференциал обладает свойством инвариантности его формы, т.е. выражение для первого дифференциала имеет тот же вид и в случае, когда х1,..., хm являются функциями некоторых переменных t1,..., tk. Свойство инвариантности формы первого дифференциала позволяет установить следующие формулы Определение Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т. е. , (6.4.1) Или, учитывая, что (16.4.2) можно записать в виде . (6.3.2) Определение Функция называется Дифференцируемой в точке , если ее полное приращение может быть представлено в виде (6.4.3) Где – дифференциал функции, – бесконечно малые при . Таким образом, Дифференциал функции нескольких переменных, как и в случае одной переменной, Представляет главную, линейную часть относительно приращений , часть полного приращения функции. Теорема Если частные производные функции существуют в окрестности точки и непрерывны в самой точке , то функция Дифференцируема В этой точке.
Частные производные

 

Рассмотрим изменение функции При задании приращения только одному из ее аргументов – ХI, и назовем его Частной производной функции По аргументу ХI называется Обозначения: Замечание. При практическом вычислении частных производных пользуемся обычными правилами дифференцирования функции одной переменной, полагая аргумент, по которому ведется дифференцирование, переменным, а остальные аргументы – постоянными. Примеры.

Дифференциал. Производные сложных функций

 

Частные производные и дифференциал

Частной производной функции по переменной В точке называется предел:

, (3)

Где - приращение аргумента . Аналогично определяется Частная производная функции по Переменной в точке :

, (4)

Где - приращение аргумента . Частные производные функции по переменной обозначают различными способами, например:

Аналогично частные производные функции по переменной обозначают следующим образом:

Частные производные.

Пусть z=f(x,y). Зафиксируем какую-либо точку (x,y), а затем, не меняя закрепленного значения аргумента y, придадим аргументу x приращение . Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по x и обозначается и определяется формулой .

Аналогично, если x сохраняет постоянное значение, а y получает приращение , то z получает частное приращение z по y, .

Определение. Частной производной по x от функции z=f(x,y) называется предел отношения частного приращения по x к приращению при стремлении к нулю, т.е.

Частная производная обозначается одним из символов .

Аналогично определяется частная производная по y:

.

Таким образом, частные производные функции двух переменных вычисляются по тем же правилам, что и производные функции одного переменного.

Пример. Найти частные производные функции z=x²e ^x-2y.

Решение.

Частные производные функции любого числа переменных определяются аналогично

Дифференцируемость ФНП

Пусть функция z(f,y) дифференцируема по x и y.

Приращение функции называют полным приращением.

Полное приращение функции весьма сложно выражается через приращения независимых переменных D x, D y. Можно показать, что

, где .

Сумма называется полным дифференциалом функции z=f(x,y).

Определение: полным дифференциалом функции двух независимых
переменных называется главная часть полного приращения
функции, линейная относительно приращений независимых
переменных.

, D x=dx, D y=dy (1)

Теорема: полный дифференциал функции двух независимых переменных равен
сумме произведений частных производных функции на дифференциалы
соответствующих независимых переменных.

Доказательство:

Формула (1) справедлива при произвольных dx и dy. В частности, при dy =0:

Аналогично доказывается, что

Тогда или

то есть дифференциал функции двух независимых переменных равен сумме ее частных дифференциалов.

Определение: функция двух независимых переменных, имеющая в некоторой
точке дифференциал, называется дифференцируемой в этой точке.

Теорема: если функция z=f(x,y) имеет в точке P(x,y) непрерывные частные
производные , то в этой точке функция дифференцируема.