Рассмотрим изменение функции
При задании приращения только одному из ее аргументов – ХI, и назовем его
Обозначения: Замечание. При практическом вычислении частных производных пользуемся обычными правилами дифференцирования функции одной переменной, полагая аргумент, по которому ведется дифференцирование, переменным, а остальные аргументы – постоянными. Примеры.
|
Дифференциал. Производные сложных функций |
Частные производные и дифференциал
Частной производной функции по переменной В точке называется предел:
, (3)
Где - приращение аргумента . Аналогично определяется Частная производная функции по Переменной в точке :
, (4)
Где - приращение аргумента . Частные производные функции по переменной обозначают различными способами, например:
Аналогично частные производные функции по переменной обозначают следующим образом:
Частные производные.
Пусть z=f(x,y). Зафиксируем какую-либо точку (x,y), а затем, не меняя закрепленного значения аргумента y, придадим аргументу x приращение . Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по x и обозначается и определяется формулой .
Аналогично, если x сохраняет постоянное значение, а y получает приращение , то z получает частное приращение z по y, .
Определение. Частной производной по x от функции z=f(x,y) называется предел отношения частного приращения по x к приращению при стремлении к нулю, т.е.
Частная производная обозначается одним из символов .
Аналогично определяется частная производная по y:
.
Таким образом, частные производные функции двух переменных вычисляются по тем же правилам, что и производные функции одного переменного.
Пример. Найти частные производные функции z=x2e x-2y.
Решение.
Частные производные функции любого числа переменных определяются аналогично
Дифференцируемость ФНП
Пусть функция z(f,y) дифференцируема по x и y.
Приращение функции называют полным приращением.
Полное приращение функции весьма сложно выражается через приращения независимых переменных D x, D y. Можно показать, что
, где .
Сумма называется полным дифференциалом функции z=f(x,y).
Определение: полным дифференциалом функции двух независимых
переменных называется главная часть полного приращения
функции, линейная относительно приращений независимых
переменных.
, D x=dx, D y=dy (1)
Теорема: полный дифференциал функции двух независимых переменных равен
сумме произведений частных производных функции на дифференциалы
соответствующих независимых переменных.
Доказательство:
Формула (1) справедлива при произвольных dx и dy. В частности, при dy =0:
Аналогично доказывается, что
Тогда или
то есть дифференциал функции двух независимых переменных равен сумме ее частных дифференциалов.
Определение: функция двух независимых переменных, имеющая в некоторой
точке дифференциал, называется дифференцируемой в этой точке.
Теорема: если функция z=f(x,y) имеет в точке P(x,y) непрерывные частные
производные , то в этой точке функция дифференцируема.
| Поделиться: |
Познавательные статьи:
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-16; просмотров: 1877; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!
infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.17.78.47 (0.006 с.)