Функции нескольких переменных

Функция переменных является дифференцируемой в точке своей области определения , если для любой точки существуют такие константы , что

где .

В этой записи функция

является дифференциалом функции в точке , а числа являются частными производными функции в точке , то есть

где — вектор, все компоненты которого, кроме -ой, равны нулю, а -ая компонента равна 1.

Каждая дифференцируемая в точке функция имеет в этой точке все частные производные, но не каждая функция, имеющая все частные производные, является дифференцируемой. Более того, существование частных производных в некоторой точке не гарантирует даже непрерывность функции в этой точке. В качестве такого примера можно рассмотреть функцию двух переменных , равную при и при . В начале координат обе частные производные существуют (равны нулю), но функция не является непрерывной.

54)

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции

Рассмотрим следующие вопросы, который касаются функций.

Если функция непрерывна, то она дифференцируема?

Если функция дифференцируема, то она непрерывна?

Ответ на первый вопрос: из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость.

Ответ на второй вопрос: из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.

Рассмотрим более конкретно каждый вопрос. Чтобы ответить на данные вопросы необходимо доказать озвученый факт или привести пример, который опровергает этот факт.

Найдем производную следующей функции . Хорошо известно, данная функция является непрерывной и, что ее производная будет следующей:

Покажем, что в точке нуль производная не существут. Для этого найдем производную в нуле по определению производной:

данный предел равен 1, если и равен (-1), если , получаем, что предел не существует, следовательно в нуле производной нет и функция в нуле не дифференцируема.

55)

Правила дифференцирования

Ключевые слова: дифференцируемая функция, свойство предела произведения, дифференцируема в точке

Если функции f и g дифференцируемы в точке x 0 то в этой же точке дифференцируемы сумма, произведение и частное (если g (x 0) =0) этих функций, причем

1. (f + g) = f + g

2. (f g) = f g + f g

3. (fg) = g 2 f g − f g

Постоянный множитель C можно выносить из-под знака производной: (Cf) ' = Cf '. В частности, С'=0

• Если f дифференцируема,
  то fn где n N также дифференцируема, причем (fn) = nfn −1 f
• Если функция y = f (x) непрерывна и строго возрастает в окрестности точки x 0 причем f (x 0) =0,
  то функция x = (y), обратная к функции y = f (x), дифференцируема в точке y 0 = f (x 0), причем (x 0)=1 f (x 0).
• Если функции y = f (x) и z = g (y) дифференцируемы в точках x 0 и y 0 = f (x 0) соответственно,
  то сложная функция z = g (f (x)) дифференцируема в точке x ₀, причем z (x 0)= g (y 0) f (x 0).
• Дифференциал функции y = f (x) имеет один и тот же вид dy = f (x) dx как в случае, когда x – независимая переменная, так и в случае, когда x – дифференцируемая функция другого переменного.
• Если f (x) – четная функция, то f (x) – нечетная; если f (x) – нечетная функция, то f (x) – четная.
• Пусть в окрестности точки t ₀ определены функции x (t) и y (t), причем x (t) непрерывна и строго монотонна.
  Пусть в этой окрестности существуют производные x (t 0) =0 и y (t 0)
  Тогда сложная функция y = y (t (x)), где t (x) – функция, обратная x (t), дифференцируема по x, причем dxdy = x (t) y (t).

 

56)

Производная обратной функции

Дифференцируемая монотонная функция f: ] a, b [ → R с необращающейся в нуль производной имеет обратную дифференцируемую функцию f ^-1, производная которой вычисляется по формуле

57)

Производная сложной функции

"Двухслойная" сложная функция записывается в виде где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f. Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)! Эта формула легко обобщается на случай, когда сложная функция состоит из нескольких "слоев", вложенных иерархически друг в друга. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих правило производной сложной функции. Это правило широко применяется и во многих других задачах раздела "Дифференцирование".

Пример 1

Найти производную функции . Решение. Поскольку , то по правилу производной сложной функции получаем

58)

 

Функция y = f(x)	Производные элементарных функций простого аргумента		Производные элементарных функций сложного аргумента
y=xn	y =n xn−1		y =n k (kx+b)n−1
y = x	y =1		y =k
y= x	y =12 x		y =k 12 kx+b
y=x1	y =−1x2		y =−k 1(kx+b)2
y = cos x	y =−sinx		y =−ksin(kx+b)
y = sin x	y =cosx		y =kcos(kx+b)
y = tg x	y =1cos2x		y =k 1cos2(kx+b)
y = ctg x	y =−1sin2x		y =−k 1sin2(kx+b)
y = arcsin x	y =1 1−x2		y =k 1 1−(kx+b)2
y = arccos x	y =−1 1−x2		y =−k 1 1−(kx+b)2
y = arctg x	y =11+x2		y =k 11+(kx+b)2
y = arcctg x	y =−11+x2		y =−k 11+(kx+b)2
y=ax a 0 a =1	y =ax lna a 0 a =1		y =k akx+b lna a 0 a =1
y=ex	y =ex		y =k ekx+b
y=logax a 0 a =1	y =1x lna		y =k 1(kx+b) lna
y = lnx	y =x1 x 0

 

59)