Производная обратной функции

Пусть f: [ a, b ] → [ c, d ] непрерывная, строго монотонная на интервале [ a, b ] функция, имеющая производную в точке х ₀ [ a, b ]. Тогда обратная функция g = f ^-1: [ c, d ] →[ a, b ] имеет производную в точке y ₀ = f (x ₀) интервала [ c, d ] равную

,

если f '(x ₀) ≠ 0. Если f '(x ₀) = 0, то g '(y ₀) = + ∞ (в случае, когда f возрастает), и g '(y ₀) = − ∞ (в случае, когда f убывает).
Доказательство. Пусть f (x) возрастает на [ a, b ] и f '(x) ≠ 0. Тогда в окрестности точки y ₀ = f (x ₀) существует обратная функция g = f ^-1; она непрерывна и также возрастает на [ c, d ], в силу чего g (y) ≠ g(y ₀), если у ≠ у ₀. Таким образом,

.

Производная сложной функции

Пусть функция f: [ a, b ] → [ c, d ], а функция g:[ a ₁, b ₁] → [ c ₁, d ₁], причём [ a ₁, b ₁] [ c, d ]. Если функция f дифференцируема в точке х ₀ [ a, b ], а функция g дифференцируема в точке y ₀ = f (x ₀) [ a ₁, b ₁], то сложная функция F (x) = g (f (x)) имеет в точке х ₀ производную, равную

g ' (f (x ₀))· f ' (x ₀).

Производные тригонометрических функций

Производные четырёх тригонометрических функций и, соответственно, четырёх обратных тригонометрических функций определяются следующими формулами (рядом указана область определения каждой функции):

35. Дифференциал, его геометрический смысл. Непрерывность. Дифференциал суммы, произведения и частного. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала функций. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференцирование неявных функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница(без доказательства).Механический смысл второй производной. Уравнение касательной и нормали к плоскости кривой.

Дифференциал функции y=f(x) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df(x)).

Иначе. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

 

Правила дифференцирования суммы, произведения, частного функции. Производные сложных функций.

Для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

 

Неперывность ф-ции

Пусть функция y=f(x) определена в точке х₀ и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке:

Это означает:

- функция определена в точке х₀ и в ее окрестности; - функция имеет предел при х→х₀

- предел функции в точке х₀ равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство.

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функции f(x) вместо аргумента х подставить предельное значение х₀

дифференциалы высших порядков

Дифференциал n-ого порядка, есть дифференциал от дифференциала (n-1)-ого порядка, т.е. производную функции можно рассматривать, как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

 

36. Функции заданные параметрическими уравнениями их дифференцирование. Теоремы Коши, Лагранжа, Роля. Правило Лопиталя.

1) если определены при и существует обратная функция для , то говорят о параметрическом задании функции .

При исследовании параметрически заданной функции иногда приходится находить ее производную по аргументу x. В этой статье мы выведем формулу производной параметрически заданной функции

2)

Теорема Ролля

Пусть функция f: [ a, b ] → R непрерывна на сегменте [ a, b ], и имеет конечную или бесконечную производную внутри этого сегмента. Пусть, кроме того, f (a) = f (b). Тогда внутри сегмента [ a, b ] найдется точка ξ такая, что f' (ξ) = 0.

 

Теорема Лагранжа

Если функция f: [ a, b ] → R непрерывна на сегменте [ a, b ] и имеет конечную или бесконечную производную во внутренних точках этого сегмента, то такое, что f (b) - f (a) = f' (ξ)(b - a).

 

Теорема Коши

Если каждая из функций f и g непрерывна на [ a, b ] и имеет конечную или бесконечную производную на ] a, b [ и если, кроме того, производная g' (x) ≠ 0 на ] a, b [, то такое, что справедлива формула

3)

Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность
типа или .

Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.

· Если и , то ;

· Если и , то аналогично .

Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа . Первые две неопределенности можно свести к типу или с помощью алгебраических преобразований. А неопределенности сводятся к типу с помощью соотношения

Правило Лопиталя справедливо также и для односторонних пределов.

Теоремы о возрастании и убывании (постоянстве) функций в интервале, достаточный признак. Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба. Необходимый признак существования точек перегиба. Достаточный признак существования точки перегиба.

Теорема. Если в данном промежутке производная функции положительна, то функция возрастает в этом промежутке; если производная отрицательна, то функция убывает в соответствующем промежутке.

Замечание. Теорема имеет простой геометрический смысл. Если в некотором промежутке касательная к графику функции у-/(х) образует с осью Ох острый угол а (18 а > 0), то функция возрастает в этом промежутке. Если касательная к графику образует с осью Ох тупой угол а (1§ сх < 0), то функция убывает.

Достаточный признак возрастания функции. Если f’(х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I.

Достаточный признак убывания функции. Если f’(х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый.

Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f ''(x0) = 0 или f ''(x0) не существует и при переходе через значение x = x0 производная f ''(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x0 есть точка перегиба.

Таким образом, точки перегиба следует искать только среди таких точек, где вторая производная обращается в нуль или не существует.