Собственное значение и собственные векторы матрицы.

Пусть задан вектор Х= такой что х1(кв)+х2(кв)+х3(кв)

 

Если после преобразования вектора Х с помощью матрицы А получается вектор I= A * X и вектор I = ʎX, то вектор Х называется собственным вектором линейного преобразования матрицы А, а ʎ cобственным значением.

Отсюда А*Х= ʎ*Х (1)

АХ-ʎ*Х*Е=0

(А-ʎЕ)Х=0 (2) – если расписать в буквенном виде

(3)

Если определитель равено 0 то однородная система (3) имеет не нулевое решение

 

Дельта =

Раскрыв определитель «дельта» получаем уравнение 3-го порядка

ʎ^3 + b1 ʎ^2 +b3 = 0 (5) – характеристическое уравнение

 

Решая его найдем корни ʎ1, ʎ2, ʎ3 это будут собственные значения

 

Собственные вектора – для этого подставляем корни ʎ1, ʎ2, ʎ3

 

ʎ1:

ʎ2:

ʎ3:

 

6. Определение вектора. Модуль вектора. Определение компланарных, коллинеарных и равных векторов.

 

Вектором называется направленный отрезок ; точка - начало, точка - конец вектора. Характеризуется величиной ии направлением.

(модулем) вектора называется расстояние между его началом и концом:

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых

Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости

Векторы называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых; их направления совпадают и длины равны.

Иначе говоря, два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют равные длины:

, если

Проекция вектора на ось. Разложение вектора на ось по единичным векторам.

Проекцией вектора на ось называется длина отрезка , взятая со знаком "+", если направление совпадает с направлением вектора , и со знаком "-", если направление противоположно направлению единичного вектора оси

Проекция вектора на ось обозначается символом .

Проекции равных векторов на одну и туже ось равны.

Вектор и его проекция - вектор - связаны следующим векторным равенством:

Проекция вектора на некоторую ось равна проекции на эту же ось вектора , умноженного на число :

Проекция вектора на ось равна произведению модуля этого вектора на косинус угла между ним и положительным направлением оси на некоторую ось :

Система ортов (или базисная система векторов) - это система единичных векторов осей координат.

Орт координатной оси обозначается через , оси - через , оси - через (рис. 1).

Для любого вектора , который лежит в плоскости , имеет место следующее разложение:

Если вектор расположен в пространстве, то разложение по ортам координатных осей имеет вид:

Умножение вектора на число. Сложение и вычитание вектора.

Произведение ненулевого вектора на число - это вектор, коллинеарный данному, а его модуль равен модулю данного вектора, умноженному на модуль числа.

Произведение ненулевого вектора на число - это вектор, координаты которого равны соответствующим координатам данного вектора, умноженным на число.

Так в случае плоской задачи произведение вектор на a = {a_x; a_y} на число b находится по формуле a ·b = {a_x · b;a_y · b}

Так в случае пространственной задачи произведение вектора a = {a_x;a_y;a_z} на число

b находится по формуле

a ·b = {a_x · b;a_y · b;a_z · b}

 

При сложении двух векторов суммарный вектор представляет собой диагональ параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (начала всех трех векторов должны совпадать). По этому же правилу производится операция вычитания векторов

Проекции результирующего вектора на координатные оси при сложении векторов равны алгебраической сумме проекций слагаемых векторов

При вычитании векторов проекции результирующего вектора равны разности проекций векторов и

Расстояние между двумя точками в прямоугольной системе координат. Деление отрезка в данном отношении.

Расстояние d между двумя точками M1(x1,y1,z1) и M2 (x2,y2,z2) в пространстве определяется формулой

Координаты x, y, z точки М, которая делит отрезок MM1, ограниченный точками M1(x1,y1,z1) и M2 (x2,y2,z2), в отношении ,определяется по формулам:

 

В частности, при имеет координаты середины данного отрезка: