Производная неявно заданной функции

Если y = f (x) - дифференцируемая функция, заданная уравнением F (x, y) = 0, т. е. F (x, f (x)) ≡ 0 на некотором интервале ] a, b [, то во многих случаях ее производную можно найти из уравнения

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ К ПОВЕРХНОСТИ

Касательной плоскостьюк поверхности в её точке M0 называется та плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности через точку

Вектор называется вектором нормали к поверхности в точке М₀.

Нормалью к поверхности в точке называется прямая, проходящая через эту точку и имеющая направление вектора .

Уравнение касательной плоскости к поверхности составляем как уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей известный нормальный вектор:

(3)

Канонические уравнения нормали к поверхности в ее точке имеют вид:

(4)

Оба уравнения составлены как известные из аналитической геометрии уравнения плоскости и прямой в пространстве.

Пример (составления уравнений касательной плоскости и нормали к поверхности)

Составить уравнение касательной плоскости и нормальной прямой к поверхности в её точке .

Решение

, , .

В точке будет , , вектор нормали .

Уравнение касательной плоскости: ;

уравнение нормали: .

Ответ: ; .

Замечание

Если в точке М₀, принадлежащей поверхности , все = = =0, то вектор нормали к поверхности равен ноль-вектору; если хотя бы одна производная , , не существует, то вектор нормали не существует.

Точки, в которых вектор нормали к поверхности равен ноль-вектору или не существует, называются особыми точками поверхности. Касательная плоскость к поверхности в таких ее точках не существует.

Определение 1. Касательной плоскостью к поверхности в данной точке P (x ₀, y ₀, z ₀) называется плоскость, проходящая через точку Р и содержащая в себе все касательные, построенные в точке Р ко всевозможным кривым на этой поверхности, проходящим через точку Р.

Пусть поверхность s задана уравнением F (х, у, z) = 0 и точка P (x ₀, y ₀, z ₀) принадлежит этой поверхности. Выберем на поверхности какую-либо кривую L, проходящую через точку Р.

Пусть х = х (t), у = у (t), z = z (t) – параметрические уравнения линии L.

Предположим, что: 1) функция F (х, у, z) дифференцируема в точке Р и не все её частные производные в этой точке равны нулю; 2) функции х (t), у (t), z (t) также дифференцируемы.

Поскольку кривая принадлежит поверхности s, то координаты любой точки этой кривой, будучи подставленными в уравнение поверхности, обратят его в тождество. Таким образом, справедливо тождественное равенство: F [ x (t), у (t), z (t)] = 0.

Продифференцировав это тождество по переменной t, используя цепное правило, получим новое тождественное равенство, справедливое во всех точках кривой, в том числе и в точке P (x ₀, y ₀, z ₀):

.

Пусть точке Р соответствует значение параметра t ₀, то есть x ₀ = x (t ₀), y ₀ = y (t ₀), z ₀ = z (t ₀). Тогда последнее соотношение, вычисленное в точке Р, примет вид

. (17)

Формула (17) представляет собой скалярное произведение двух векторов. Первый из них – постоянный вектор

,

не зависящий от выбора кривой на поверхности .

Второй вектор – касательный в точке Р к линии L, а значит, зависящий от выбора линии на поверхности, то есть является переменным вектором.

При введённых обозначениях равенство (17) перепишем как . Его смысл таков: скалярное произведение равно нулю, следовательно, векторы и перпендикулярны. Выбирая всевозможные кривые (см. рис. 54), проходящие через точку Р на поверхности s, мы будем иметь различные касательные векторы, построенные в точке Р к этим линиям; вектор же от этого выбора не зависит и будет перпендикулярен любому из них, то есть все касательные векторы

расположены в одной плоскости, которая, по определению, является касательной к поверхности s, а точка Р в этом случае называется точкой касания. Вектор является направляющим вектором нормали к поверхности.

Определение 2. Нормалью к поверхности s в точке Р называется прямая, проходящая через точку Р и перпендикулярная к касательной плоскости, построенной в этой точке.

Мы доказали существование касательной плоскости, а, следовательно, и нормали к поверхности. Запишем их уравнения:

; (18)

(18) – уравнение касательной плоскости, построенной в точке P (x ₀, y ₀, z ₀) к поверхности s, заданной уравнением F (х, у, z) = 0;

; (19)

 

Часные производные и дифференциал высших порядков. Необходимое и достаточное условия существование экстремума функций двух переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции. Условные экстремумы. Метод множителей Лагранжа.