Гипербола. Определение. Вывод канонического уравнения.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до фокусов есть величина постоянная.

Пусть M(x;y) – произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению гиперболы |MF₁ – MF₂|=2a или MF₁ – MF₂=±2a,

 

25.переменные и постоянные величины множества. Функции. Область определения, способы задания. График функции. Приращение функции.

Переменная величина – такая величина, которая может принимать любые значения X Y Z.

Постоянная величина – константа, которая сохраняет всегда одно и тоже значение.

Функции – если каждому значению переменной Х соответствует одно и только одно значение переменной У, то У является функцией от Х, у=f(x).

Область определения функции D(f) – называется множество значений Х при которых функция существует.

Способы задания: 1) табличный; 2)графический; 3)аналитический.

График функции – это множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значения аргумента Х, а ординаты – соответствующими значениями функции У.

Приращения функции – это свойство функции f(x) быть не прерывной в точке, то есть это разность между двумя значениями функции. Если есть 2 точки Х и А на числовой оси, то на отрезке(х;а) функция должна существовать и если существует разность f(x)-f(a) где х бесконечно много приближается по своему значению к значению а(этот отрезок очень маленький), то это и есть приращение функции.

f(x)-f(a) – приращение функции.

Предел переменной величины (последовательности). Предел функции при непрерывном стремлении аргументы к конечному значению или к бесконечности. Свойства функций, имеющих предел.

Придел переменной величины – это постоянное число а является приделом переменной величины х, если для любого + эпсилент>0найдется такое значение переменной х с которого будет выполнятся неравенство lim x=a, |x-a|<E

Так как числовая последовательность является частным случаем переменной, то ее придел определяется как число а является приделом при n стримящимся к бесконечности. {xn}, n бесконечность.

Придел функции – пусть функция y=f(x)определена в некоторой окрестности т.А, х=а, тогда число В является приделом функции при х стремится к А если для любого + эпсилент существует дельта зависящая от эпсилент>0, такое что как только |x-a|<дельта, то выполняется условие |f(x)-b|<E

Придел функции слева: если f(x) стремится к приделу В1, так что х принимает значение<A, то limf(x)=B1

X стремится к а-дельта

Придел функции справа: если f(x) стремится к приделу В2, так что х принимает значение>A, то limf(x)=B2

X стремится к а+дельта

Бесконечно малые и бесконечно большие величины и их свойства.Сравнение бесконечно малых,эквивалентность бесконечно малых.Их использование для отыскания пределов и приближенных вычислениях.Неопределённые выражения.

Бесконечно малые величины: функция А=А(х) бесконечно малой если limA(x)=0

Х стремится к а

Свойства бесконечно малых:

Теорема 1: если функция у=в+А, где А-бесконечно малая функция, а в=константе, то lime=в.

Теорема 2: если А(х) стремится к 0, то обратная ее функция к бесконечности

1/А(х)стремится к бесконечности.

Теорема 3:елгебраическая сумма конечного числа бесконечно малой функции есть величина бесконечно малой.

Теорема 4: произведение бесконечно малой на ограниченную функцию есть функция бесконечно малая.

Теорема 5:частное отделение бесконечно малой на функцию lim не равен 0, есть величина бесконечно малая.

Бесконечно большие величины: функция является бесконечно большой если

Limf(x)= бесконечности

X стремится к а

Основные свойства бесконечно больших:

Теорема 1:если Limf(x)= в, где в – конечное число, то функция f(x) ограниченая

X стремится к а

Теорема 2: если Limf(x)= в не ровна 0, то функция 1/f(x) – величина ограниченая.

X стремится к а

Теоремы о пределах суммы, произведения и частного, признаки существования предела: А) для монотонной ограниченной последовательности; Б) для функции, заключенной между двумя функциями.

Основные теоремы о приделах:

Теорема 1: придел алгебраической суммы конечного числа переменных или функции = сумме приделов или переменных этих функций.

Теорема 2: придел произведения переменных или функции = произведению приделов.

Следствие: постоянный множитель С можно выносить за знак придела.

Lim C U=C lim U

Теорема 3:придел дроби = дроби придела, если знаменатель не равен 0.

Теорема 4: если между соответствующими значениями функции существует неравенство U(x)<=Z(x)<=V(x) и lim u(x)=lim v(x)=b

x стремится к a x стремится к a2,

то lim z(x)=b

x стремится к а

Теорема 5:если для функции выполняется неравенство U(x)>=V(x) и limU(x)=b1, limV(x)=b2 при х стремится к а, то b1>=b2

Теорема 6: если V(x)>=0 и limU(x)=b при а стремится к 0, то b>=0

Теорема 7: если переменная величина V возрастает и ограниченный сверху V<=M и имеет limV=b, то b<=M. Аналогично формулируется теорема при ограничении снизу, если переменная величина b спадает и ограничена снизу m<=V, limV(x)=b1, то m<=b1.

 

29.Первый замечательный предел.

1 замечательный предел.

 

 

Возьмем круг радиуса 1, обозначим

радианную меру угла MOB через Х.

Пусть 0 < X < π/2. На рисунке |АМ| = sin x, дуга МВ численно равна центральному углу Х, |BC| = tg x. Тогда

Разделим все на и получим:

Т.к. , то по признаку существования пределов следует .

Следствия

·

·

·

·

 

Примеры.

1. .

2. .