Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Производная, ее геометрический и механический смысл. Касательная и нормаль к плоскости кривой. Дифференцируемость функций.Содержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Производная. Рассмотрим некоторую функцию y = f (x) в двух точках x 0 и x 0 + : f (x 0) и f (x 0 + ). Здесь через обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции: f (x 0 + ) f (x 0) называется приращением функции. Производной функции y = f (x) в точке x 0называется предел:
Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f (x):
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной. Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A (x 0, f (x 0)). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’(x 0) имеет вид: y = f ’(x 0) · x + b. Чтобы найти b,воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A: f (x 0) = f ’(x 0) · x 0 + b, отсюда, b = f (x 0) – f ’(x 0) · x 0, и подставляя это выражение вместо b, мы получим уравнение касательной: y = f (x 0) + f ’(x 0) · (x – x 0). Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки –известная функция x (t) времени t. В течение интервала времени от t 0 до t 0 + точка перемещается на расстояние: x (t 0 + ) x (t 0) = , а её средняя скорость равна: va = . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v (t 0) материальной точки в момент времени t 0. Но по определению производной мы имеем: отсюда, v (t 0) = x’ (t 0), т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ (t). Производная суммы, произведения и частного. Гиперболические функции, их свойства и графики. Производная суммы (разности) функций Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:
Производная произведения функций. Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и производная произведения двух функций не равна произведению производных этих функций. Производная частного функций. Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле
Гиперболическими синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом называются функции:
Областью определения функций shx, chx, thx является вся числовая ось; функция y=cthx не определена в точке х=0. Название гиперболических функций (синус, косинус, …) объясняется тем, что для них справедливы тождества ''похожие'' на тригонометрические: Свойства ch(x± y)=chx · chy ± shx · shy, (1) sh(x± y)=shx · chy± chx · shy, (2) ch2x–sh2x=1, (3) ch2x=ch2x+sh2x, (4) sh2x=2shx · chx. (5) 34. Производные основных элементарных функций (степенных, логарифмических, показательных и гиперболических функций). Производная сложной и обратной функции. Производные тригонометрических функций. 1) Производная логарифмической и показательной функции Предполагается, что основание a показательной и логарифмической функции больше нуля и не равно единице: a > 0, a ≠ 1. Производная показательной функции y = ax с основанием a определяется формулой Если a = е, то получаем результат в виде Производная логарифмической функции y = log a x определяется выражением Для натурального логарифма y = ln x производная равна
2) Производные гиперболических функций
Производные гиперболических функций легко находятся, поскольку гиперболические функции являются комбинациями ex и e−x. Например, гиперболические синус и косинус определяются как Производные этих функций имеют вид Остальные формулы доказываются аналогично. 3)Производная степенной функции Если f(x) = xp, где p - действительное число, то Если показатель степени является отрицательным числом, т.е. f(x) = x−p, то
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-07; просмотров: 442; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.138.134.77 (0.008 с.) |