Касательные к эллипсу, гиперболе, параболе

 

Во-первых, вспомним, что уравнение касательной к графику функции в точке выглядит так:

. (1)

Пусть задано некоторое уравнение

. (2)

Если существует единственное число такое, что , то говорят, что уравнение (2) на промежутке задаёт некоторую функцию . Такой способ задания функции называется неявным. Подробно теорию неявных функций вы будете изучать в курсе математического анализа. В частности, вам приведут обоснование следующего правила: для дифференцирования функции, заданной неявно, достаточно продифференцировать равенство, задающее эту функцию, считая переменную зависящей от переменной .

Составим уравнение касательной к гиперболе

. (3)

в принадлежащей ей точке . Уравнение (3) неявно задаёт две непрерывные функции: одну при , а вторую при . Для нахождения производной дифференцируем равенство (3):

,

откуда при находим

.

Тогда . Используя (1), запишем уравнение касательной к гиперболе (3) в точке :

.

Умножив это уравнение на и разделив его на , получим уравнение:

,

которое равносильно следующему:

.

В силу того, что точка принадлежит гиперболе (3), уравнение касательной приобретает конечный вид:

. (4)

Замечание. Уравнение (4) получено при условии, что , т.е. во всех точках гиперболы, за исключением ее вершин. Если же , то . Тогда из (4) следует, что или , что совпадает с уравнением касательной к гиперболе в её вершине. Таким образом, несмотря на то, что уравнение касательной к гиперболе в некоторой ее точке выводилось при условии, что эта точка не является вершиной, окончательное уравнение (4) подходит и для вершины тоже.

Таким же образом составим и уравнение касательной к параболе

(5)

в принадлежащей ей точке .

(5)

[(1)]

[точка принадлежит параболе (5)]

. (6)

Замечание. Если , то и – это вершина параболы. При условии из (6) получаем . Это уравнение оси , которая и является касательной к параболе в её вершине. Таким образом, полученное уравнение (6) задаёт касательную к параболе во всех ее точках, несмотря на то, что выводилось оно при условии .

Упражнение. Покажите, что уравнение касательной к эллипсу

в принадлежащей ему точке , имеет вид:

.

Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы

 

Теорема. Лучи света, выходящий из одного фокуса эллипса, после отражения от эллипса проходят через другой его фокус (рис. 3.16).

Рис. 2.

Рис. 1.

Лучи света, выходящие из фокуса параболы, после отражения от неё образуют пучок лучей, параллельных оси параболы (рис. 3.17).

Лучи света, выходящие из одного фокуса гиперболы, после отражения от гиперболы кажутся выходящими из другого её фокуса (рис. 3.18).

► Для гиперболы. Покажем, что нормаль к гиперболе в ее точке образует одинаковые углы с лучом, выходящим из правого фокуса, и с лучом, кажущимся выходящим из левого фокуса. Обозначим (рис. 3.17). Согласно (4) § 6 . Так как , то , . Тогда:

, (1)

. (2)

Сравнивая (1) и (2) и учитывая, что оба угла и находятся в пределах от 0 до , получаем, что = .

Для параболы. Обозначим , (рис. 3.18). На основании (6) § 6 . Тогда и

, ( 5)

. (6)

Сравнивая (5) и (6), опять же получаем, что .

Для эллипса оптическое свойство до- Рис. 3.18 казывается точно так же, как и для гиперболы, поэтому вы можете сделать это самостоятельно в качестве упражнения. ◄

Рис.5.

Линии второго порядка

 

Будем считать, что на плоскости задана прямоугольная декартова система координат.

Уравнением второй степени с двумя неизвестными называется уравнение вида

,

в котором .

Уравнение второй степени называется каноническим, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1. не содержит произведения переменных ( при );

2. если содержит квадрат какой-либо переменной, то не содержит её первой степени ( => );

3. если содержит первую степень, то только одной переменной, и тогда свободный член равен нулю ( => );

4. если свободный член не равен нулю, то он равен 1 или -1.

Линией второго порядка называется множество точек плоскости, удовлетворяющих какому-либо уравнению 2-й степени.

Теорема. Для любой линии второго 2-го порядка на плоскости существует прямоугольная декартова система координат, в которой эта линия задаётся каноническим уравнением.

Эту теорему мы докажем позже, в разделе «Линейная алгебра», а сейчас на основании ее мы перечислим все возможные типы линий второго порядка:

	эллипс;
	мнимый эллипс;
	точка О (0; 0);
	гипербола;
	пара пересекающихся прямых;
	парабола;
	пара параллельных прямых;
	сдвоенная прямая;
	пара мнимых параллельных прямых.