ТОП 10:

Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению



 

1. Симметрия. Так как координаты x и y в уравнение (4) входят только в чётных степенях, то

{M1(x0; y0) Г} {M2(–x0; y0) Г, M3(–x0; –y0) Г; M4(x0; –y0) Г}.

Это означает, что гипербола (4) симметрична относительно координатных осей и начала координат. Оси симметрии гиперболы называются осями гиперболы, центр симметрии – ее центром.

2. Пересечение с осями. Если y = 0, то (4) {x = ±a}. Значит, гипербола пересекает ось в точках A1 (–a; 0) и A2 = (a; 0), которые называются вершинами гиперболы. Если же x = 0, то (4) решений не имеет, т.е. ось гипербола не пересекает. Та ось гиперболы, которую она пересекает, называется её действительной осью, а та, которую не пересекает – мнимой. Числа a и b называются полуосями гиперболы, действительной и мнимой соответственно.

3. В силу симметрии гиперболы ее достаточно нарисовать в первой координатной четверти, а затем продолжить рисунок по симметрии. Если , , то из (4) можно выразить y:

. (7)

Если x = a, то y = 0, если же , то и . Вычислим производную:

.

Если , то , поэтому гипербола в вершине имеет вертикальную касательную.

4. Асимптотами гиперболы (4) называются прямые . Рассмотрим ту из них, которая проходит в первой четверти:

. (8)

Сравнивая (7) и (8), видим, что : , значит, гипербола расположена ниже своей асимптоты. Кроме того, ели М – точка гиперболы, Р – точка её асимптоты Рис. 3.2. с такой же первой координатой, –расстояние от М до гиперболы (рис.3.2), то

.

Следовательно, при неограниченном удалении от начала координат гипербола бесконечно близко приближается к своей асимптоте, не пересекая ее.

Теперь можно приступить к рисованию. По обе стороны от начала координат откладываем на действительной оси действительные полуоси, а на мнимой – мнимые. Рисуем прямоугольник, стороны которого проходят через полученные точки параллельно осям координат. Точки пересечения прямоугольника с действительной осью – это вершины гиперболы и . Затем проводим диагонали прямоугольника и продляем их – это асимптоты гиперболы. Рисуем гиперболу сначала в первой четверти, начиная от вершины и неограниченно приближая её к асимптоте, а затем продолжаем по симметрии в остальные координатные четверти (рис. 3.3).

В заключение параграфа отметим, что уравнение задаёт гиперболу, действительной осью которой является ось , а школьное уравнение при – это уравнение гиперболы с перпендикулярными асимптотами, составленное относительно её асимптот.

 

Эллипс

 

Определение. Пусть на плоскости заданы две точки F1и F2, расстояние между которыми равно 2c. Пусть, кроме того, задано число a, большее c. Эллипсом называется множество точек той же плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до точек F1 и F2, называемых фокусами эллипса, есть число постоянное, равное 2а.

 

Вывод канонического уравнения

Для вывода канонического уравнения эллипса выберем на плоскости следующую прямоугольную декартову систему координат: ось проведем через фокусы эллипса, а ось – перпендикулярно ей через середину отрезка F1F2 (рис. 3.4). По определению эллипсу удовлетворяют те, и только те точки М плоскости, для которых

. (1)

Чтобы получить уравнение эллипса следует записать равенство (1) в координатах. В выбранной системе координат фокусы эллипса имеют следующие координаты: F1 (–c; 0); F2 (c; 0). Произвольную (или текущую) точку множества опять обозначаем M(x; y). Так как

, ,

то уравнение (1) равносильно следующему:

, (2)

которое, в свою очередь, равносильно

Рис. 3.4 уравнению:

. (3)

Оба эти уравнения являются уравнениями эллипса, но мы преобразуем их к более простому виду. Проведем следующую цепочку преобразований:

(3)

.

Учитывая, что , разделив последнее уравнение на , получаем:

. (4')

Так как , то , поэтому найдется такое положительное число , что . Теперь уравнение (4') примет вид:

. (4)

Мы доказали: если точка принадлежит эллипсу, то её координаты удовлетворяют уравнению (3) или (4).

Докажем обратное: если координаты точки удовлетворяют уравнению (4) или (3), то она принадлежит эллипсу. Итак,

{M (x; y) удовлетворяет (4)}

. (5)

Аналогично получаем:

. (6)

Находим сумму расстояний:

[(4) ] = .

Таким образом, (4) – уравнение эллипса, которое и называется его каноническим уравнением.

 







Последнее изменение этой страницы: 2016-09-18; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.85.245.126 (0.009 с.)