Эксцентриситет и директрисы эллипса и гиперболы

 

Эксцентриситетом гиперболы называется число e, равное отношению половины расстояния между фокусами гиперболы к ее действительной полуоси.

Эксцентриситетом эллипса называется число e, равное отношению половины расстояния между фокусами эллипса к его большой полуоси.

Директрисами гиперболы называются прямые, перпендикулярные ее действительной оси и находящиеся от центра на расстоянии, равном отношению действительной полуоси к эксцентриситету.

Директрисами эллипса называются прямые, перпендикулярные его большой оси и находящиеся от центра на расстоянии, равном отношению большой полуоси к эксцентриситету.

 

, (1)	, (1^I)
, a > b (2)	, a < b, (2^I)
,	,
уравнения директрис: .	уравнения директрис: .

.   Рис. 1

Рассмотрим гиперболу (1). Для неё , т.к. . Вспомнив, что , получаем . Исследуем, как меняется форма гиперболы в зависимости от её эксцентриситета. Зафиксируем полуось . Если , то , т.е. гипербола будет очень узкой. С ростом растёт и , т.е. ветви гиперболы расширяются (см. рис. 3.9). Если же , то и , т.е. гипербола по внешнему виду приближается к паре параллельных прямых.

Рассмотрим теперь эллипс ( 2 ). Для него , т.к. . Для эллипса (2)

Рис.3.9 , поэтому . Исследуем, как меняется форма эллипса в зависимости от его эксцентриситета. Опять зафиксируем полуось . При получаем , и эллипс вырождается в окружность. С ростом полуось уменьшается, эллипс «худеет», а если , то , т.е. эллипс и вовсе стремится превратиться в отрезок (рис 3.10).

Теперь вернемся к директрисам. Так как для гиперболы (1) , а для эллипса (2) , Рис. 3.10

то для гиперболы , а для эллипса . Это значит, что и директрисы гиперболы, и директрисы эллипса свою кривую не пересекают. Кроме того, директриса и соответствующий ей фокус отделены кривой друг от друга (рис. 3.11 и 3.12).

Теорема (основное свойство эллипса и гиперболы по отношению к директрисам). Для всех точек гиперболы (эллипса) отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей этому фокусу директрисы есть число постоянное, равное эксцентриситету гиперболы (эллипса). И обратно: если для какой-либо точки плоскости отношение расстояния до фокуса заданной гиперболы (эллипса) к расстоянию до соответствующей этому фокусу директрисы равно эксцентриситету заданной гиперболы (эллипса), то эта точка принадлежит гиперболе (эллипсу).

 

 

►Докажем утверждение для левого фокуса и левой директрисы гиперболы (1) (в остальных случаях вы его докажете самостоятельно в качестве упражнения). На рис. 3.13 точки имеют следующие координаты: , , . Тогда

[§1, (5)] = ; .

Из этих двух равенств и получаем:

.

Докажем обратное утверждение. Пусть для некоторой точки плоскости справедливо соотношение:

. (3)

Так как , а , то

(3)

.

Учитывая, что , из последнего уравнения получаем . Таким образом, точка удовлетворяет уравнению заданной гиперболы. ◄

На основании доказанной теоремы мы можем сформулировать общее определение эллипса, гиперболы и параболы.

Определение. Гиперболой (эллипсом, параболой) называется множество точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки к расстоянию до заданной прямой в этой плоскости есть число постоянное, равное e, причём e > 1 (e < 1, e = 1).

 

Полярные уравнения эллипса, гиперболы и параболы

Полярная система координат

Выберем на плоскости произвольную точку О, которую назовём полюсом, и проведём луч с началом в этой точке, который назовём полярной осью. Каждой точке плоскости поставим в соответствие упорядоченную пару чисел , где – расстояние от точки до полюса, а – угол между полярной осью и радиус-вектором точки (рис.3.14). Получим соответствие между множеством точек плоскости и множеством упорядоченных пар действитель- Рис. 3.14. ных чисел. Если , а или , то это соответствие будет взаимно однозначным на плоскости с выколотой точкой (полюсом).

 

Вывод полярных уравнений

 

Выберем одну из трёх кривых – эллипс, параболу или одну из ветвей гиперболы, и обозначим её . Полярную систему координат построим следующим образом: полюс поместим в фокус (для гиперболы берем фокус, соответствующий выбранной ветви), а полярную ось проведём перпендикулярно соответствующей этому фокусу директрисе в направлении от неё. Расстояние от фокуса до директрисыобозначим . Число называется фокальным параметром кривой. Тогда (рис. 3.15): , ;

[Т§ 4] ,

откуда получаем уравнение

(1)

Это уравнение задаёт эллипс, параболу, левую ветвь гиперболы, когда полюс находится в левом фокусе, и правую ее ветвь, когда фокус находится в правом фокусе.

Если рассматриваемая кривая – эллипс, то , и из (1) видно,

Рис.3.15. что . Если рассматриваемая кривая – парабола, то и . В случае же, когда рассматривается одна из ветвей гиперболы, причём полюс находится в соответствующем фокусе, то для нахождения требуется решить неравенство , или , откуда находим . Таким образом, для одной из ветвей гиперболы

.

Это означает, что любой луч, выпущенный из фокуса эллипса, пересекает этот эллипс; единственный луч, выпущенный из фокуса параболы и не пересекающий её – это полярная ось; а лучи, выпущенные из фокуса гиперболы и не пересекающие соответствующую её ветвь, образуют целый угол.

Упражнение. Покажите, что в той же полярной системе уравнение противоположной ветви гиперболы выглядит так:

.