Глава 3. Линии второго порядка

ГЛАВА 3. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Гипербола

Определение. Пусть на плоскости заданы две точки F ₁и F ₂, расстояние между которыми равно 2 c. Пусть, кроме того, задано положительное число a, меньшее c. Гиперболой называется множество точек той же плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до точек F ₁ и F ₂, называемых фокусами гиперболы, есть число постоянное, равное 2 а.

Вывод канонического уравнения

Для вывода уравнения гиперболы, которое мы впоследствии назовём каноническим, выберем на плоскости прямоугольную декартову систему координат следующим образом: ось проведем через фокусы гиперболы, а ось – перпендикулярно ей через середину отрезка F ₁ F ₂ (рис. 3.1). По определению гиперболе удовлетворяют те, и только те точки М плоскости, для которых

Рис. 3.1.

. (1)

Чтобы получить уравнение гиперболы остаётся только записать равенство (1) в координатах. В выбранной системе координат фокусы гиперболы имеют следующие координаты: F ₁ (– c; 0); F ₂ (c; 0). Координаты произвольной (или текущей) точки множества всегда обозначаются x и y. Таким образом, M (x; y). Так как

, ,

то уравнение (1) равносильно следующему:

, (2)

которое, в свою очередь, равносильно уравнению:

. (3)

Оба эти уравнения являются уравнениями гиперболы, но они имеют громоздкий вид, неудобны для использования и для запоминания, поэтому мы преобразуем их к более простому виду. Проведем следующую цепочку преобразований:

(3)

.

Учитывая, что , разделив последнее уравнение на , получаем:

. (4')

Так как , то , поэтому найдется такое положительное число , что . Теперь уравнение (4') примет вид:

. (4)

Мы доказали: если точка принадлежит гиперболе, то её координаты удовлетворяют уравнению (3) или (4).

Докажем обратное: если координаты точки удовлетворяют уравнению (4) или (3), то она принадлежит гиперболе. Итак,

{ M (x; y) удовлетворяет (4)}

 

. (5)

Аналогично получаем:

. (6)

Находим разность расстояний:

[(4) ] =

 

= .

Таким образом, (4) – уравнение гиперболы, которое и называется её каноническим уравнением.

 

Эллипс

 

Определение. Пусть на плоскости заданы две точки F ₁и F ₂, расстояние между которыми равно 2 c. Пусть, кроме того, задано число a, большее c. Эллипсом называется множество точек той же плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до точек F ₁ и F ₂, называемых фокусами эллипса, есть число постоянное, равное 2 а.

 

Вывод канонического уравнения

Для вывода канонического уравнения эллипса выберем на плоскости следующую прямоугольную декартову систему координат: ось проведем через фокусы эллипса, а ось – перпендикулярно ей через середину отрезка F ₁ F ₂ (рис. 3.4). По определению эллипсу удовлетворяют те, и только те точки М плоскости, для которых

. (1)

Чтобы получить уравнение эллипса следует записать равенство (1) в координатах. В выбранной системе координат фокусы эллипса имеют следующие координаты: F ₁ (– c; 0); F ₂ (c; 0). Произвольную (или текущую) точку множества опять обозначаем M (x; y). Так как

, ,

то уравнение (1) равносильно следующему:

, (2)

которое, в свою очередь, равносильно

Рис. 3.4 уравнению:

. (3)

Оба эти уравнения являются уравнениями эллипса, но мы преобразуем их к более простому виду. Проведем следующую цепочку преобразований:

(3)

.

Учитывая, что , разделив последнее уравнение на , получаем:

. (4')

Так как , то , поэтому найдется такое положительное число , что . Теперь уравнение (4') примет вид:

. (4)

Мы доказали: если точка принадлежит эллипсу, то её координаты удовлетворяют уравнению (3) или (4).

Докажем обратное: если координаты точки удовлетворяют уравнению (4) или (3), то она принадлежит эллипсу. Итак,

{ M (x; y) удовлетворяет (4)}

. (5)

Аналогично получаем:

. (6)

Находим сумму расстояний:

[(4) ] = .

Таким образом, (4) – уравнение эллипса, которое и называется его каноническим уравнением.

 

Парабола

 

Определение. Пусть на плоскости заданы прямая D и точка F на расстоянии p от неё. Параболой называется множество всех точек той же плоскости, для каждой из которых расстояние до точки F, называемой фокусом параболы, равно расстоянию до прямой D, называемой ее директрисой.

Полярные уравнения эллипса, гиперболы и параболы

Полярная система координат

Выберем на плоскости произвольную точку О, которую назовём полюсом, и проведём луч с началом в этой точке, который назовём полярной осью. Каждой точке плоскости поставим в соответствие упорядоченную пару чисел , где – расстояние от точки до полюса, а – угол между полярной осью и радиус-вектором точки (рис.3.14). Получим соответствие между множеством точек плоскости и множеством упорядоченных пар действитель- Рис. 3.14. ных чисел. Если , а или , то это соответствие будет взаимно однозначным на плоскости с выколотой точкой (полюсом).

 

Вывод полярных уравнений

 

Выберем одну из трёх кривых – эллипс, параболу или одну из ветвей гиперболы, и обозначим её . Полярную систему координат построим следующим образом: полюс поместим в фокус (для гиперболы берем фокус, соответствующий выбранной ветви), а полярную ось проведём перпендикулярно соответствующей этому фокусу директрисе в направлении от неё. Расстояние от фокуса до директрисыобозначим . Число называется фокальным параметром кривой. Тогда (рис. 3.15): , ;

[Т§ 4] ,

откуда получаем уравнение

(1)

Это уравнение задаёт эллипс, параболу, левую ветвь гиперболы, когда полюс находится в левом фокусе, и правую ее ветвь, когда фокус находится в правом фокусе.

Если рассматриваемая кривая – эллипс, то , и из (1) видно,

Рис.3.15. что . Если рассматриваемая кривая – парабола, то и . В случае же, когда рассматривается одна из ветвей гиперболы, причём полюс находится в соответствующем фокусе, то для нахождения требуется решить неравенство , или , откуда находим . Таким образом, для одной из ветвей гиперболы

.

Это означает, что любой луч, выпущенный из фокуса эллипса, пересекает этот эллипс; единственный луч, выпущенный из фокуса параболы и не пересекающий её – это полярная ось; а лучи, выпущенные из фокуса гиперболы и не пересекающие соответствующую её ветвь, образуют целый угол.

Упражнение. Покажите, что в той же полярной системе уравнение противоположной ветви гиперболы выглядит так:

.

Линии второго порядка

 

Будем считать, что на плоскости задана прямоугольная декартова система координат.

Уравнением второй степени с двумя неизвестными называется уравнение вида

,

в котором .

Уравнение второй степени называется каноническим, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1. не содержит произведения переменных ( при );

2. если содержит квадрат какой-либо переменной, то не содержит её первой степени ( => );

3. если содержит первую степень, то только одной переменной, и тогда свободный член равен нулю ( => );

4. если свободный член не равен нулю, то он равен 1 или -1.

Линией второго порядка называется множество точек плоскости, удовлетворяющих какому-либо уравнению 2-й степени.

Теорема. Для любой линии второго 2-го порядка на плоскости существует прямоугольная декартова система координат, в которой эта линия задаётся каноническим уравнением.

Эту теорему мы докажем позже, в разделе «Линейная алгебра», а сейчас на основании ее мы перечислим все возможные типы линий второго порядка:

	эллипс;
	мнимый эллипс;
	точка О (0; 0);
	гипербола;
	пара пересекающихся прямых;
	парабола;
	пара параллельных прямых;
	сдвоенная прямая;
	пара мнимых параллельных прямых.

 

ГЛАВА 3. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Гипербола

Определение. Пусть на плоскости заданы две точки F ₁и F ₂, расстояние между которыми равно 2 c. Пусть, кроме того, задано положительное число a, меньшее c. Гиперболой называется множество точек той же плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до точек F ₁ и F ₂, называемых фокусами гиперболы, есть число постоянное, равное 2 а.

Вывод канонического уравнения

Для вывода уравнения гиперболы, которое мы впоследствии назовём каноническим, выберем на плоскости прямоугольную декартову систему координат следующим образом: ось проведем через фокусы гиперболы, а ось – перпендикулярно ей через середину отрезка F ₁ F ₂ (рис. 3.1). По определению гиперболе удовлетворяют те, и только те точки М плоскости, для которых

Рис. 3.1.

. (1)

Чтобы получить уравнение гиперболы остаётся только записать равенство (1) в координатах. В выбранной системе координат фокусы гиперболы имеют следующие координаты: F ₁ (– c; 0); F ₂ (c; 0). Координаты произвольной (или текущей) точки множества всегда обозначаются x и y. Таким образом, M (x; y). Так как

, ,

то уравнение (1) равносильно следующему:

, (2)

которое, в свою очередь, равносильно уравнению:

. (3)

Оба эти уравнения являются уравнениями гиперболы, но они имеют громоздкий вид, неудобны для использования и для запоминания, поэтому мы преобразуем их к более простому виду. Проведем следующую цепочку преобразований:

(3)

.

Учитывая, что , разделив последнее уравнение на , получаем:

. (4')

Так как , то , поэтому найдется такое положительное число , что . Теперь уравнение (4') примет вид:

. (4)

Мы доказали: если точка принадлежит гиперболе, то её координаты удовлетворяют уравнению (3) или (4).

Докажем обратное: если координаты точки удовлетворяют уравнению (4) или (3), то она принадлежит гиперболе. Итак,

{ M (x; y) удовлетворяет (4)}

 

. (5)

Аналогично получаем:

. (6)

Находим разность расстояний:

[(4) ] =

 

= .

Таким образом, (4) – уравнение гиперболы, которое и называется её каноническим уравнением.