Алгоритм приближенного вычисления корня методом касательных.

Исходные данные:

f (x) – функция;

f ‘(x) – производная заданной функции f (x);

ε – требуемая точность;

x0 – начальное приближение.

Результат: x_пр – приближенный корень уравнения f (x) = 0.

Метод решения:

Рассмотрим случай, когда , т.е. и имеют одинаковые знаки. Тогда возможны два случая построения кривой на отрезке (рис 8).

Проведем касательную к кривой y = f (x) в точке В0(b; f(b)). В курсе алгебры выводится уравнение касательной.

Уравнение касательной в точке В0 имеет вид . В качестве очередного приближения к корню уравнения берем точку пересечения касательной с осью Оx. Полагая y = 0, найдем . Теперь . Применяя метод еще раз для отрезка , получим .

Получаем рекуррентную формулу вычисления приближений к корню:

(3)

 

Рис. 8. Геометрическая интерпретация метода касательных для случая .

Обратим внимание, что в этом случае в качестве начального приближения к корню выбираем точку x0 = b. Приближение к корню происходит с правой стороны, поэтому получаем приближенное значение корня с избытком.

Пусть теперь , т.е. и имеют разные знаки. Тогда также возможны два случая построения кривой на отрезке (рис 9).

B0

 

A0

Рис. 9. Геометрическая интерпретация метода касательных для случая .

Если снова провести касательную к кривой в точке В0, то она пересечет ось Ох в точке не принадлежащей отрезку . Поэтому проведем касательную в точке . Ее уравнение . Находим x1, полагая y = 0: . Корень . Применяя метод еще раз для отрезка , получим .

Получаем рекуррентную формулу вычисления приближений к корню, аналогичную первому случаю:

В данном случае в качестве начального приближения к корню выбираем точку x0 = a. Приближение к коню происходит с левой стороны, поэтому находим приближенное значение корня с недостатком.

Заметим, что вычислительные формулы метода отличаются друг от друга только выбором начального приближения: в первом случае за x0 принимаем конец b отрезка, во втором – конец a.

Убедитесь сами, что при выборе начального приближения корня можно руководствоваться правилом: за исходную точку следует выбрать тот конец отрезка , в котором знак функции совпадает со знаком второй производной (см. рисунки 8,9).

Условие окончания вычислительного процесса: , где ε - заданная точность. Тогда xпр = xn+1 с точностью ε.

Вопрос 7. Интерполирование и экстраполирование. Интерполяционная формула Лагранжа.

Интерполяция, интерполирование —способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

На отрезке [a, b] заданы n + 1 точки x0, x1,..., xn, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f(x) в этих точках f(x0) = y0, f(x1) = y1,..., f(xn) = yn. Требуется построить интерполирующую функцию F(x), принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x), т.е. такую, что F(x0) = y0, F(x1) = y1,..., F(xn) = yn.

Геометрически это означает, что нужно найти кривую y = F(x) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек Mi(xi, yi) для i = . Полученная таким образом интерполяционная формула y = F(x) обычно используется для вычисления значений исходной функции f(x) для значений аргумента x, отличных от узлов интерполяции. Такая операция называется интерполированием функции f(x). При этом различают интерполирование в узком смысле, когда x принадлежит интервалу [x0, xn], и экстраполирование, когда x не принадлежит этому интервалу.

В такой общей постановке задача интерполирования может иметь бесчисленное множество решений. Чтобы получить единственную функцию F(x), необходимо предположить, что эта функция не произвольная, а удовлетворяет некоторым дополнительным условиям.

Формула Лагранжа

 

Интерполяционная формула Лагранжа обеспечивает построение алгебраического многочлена P_n (x) для произвольно заданных узлов интерполирования. Для n + 1 различных значений аргумента x ₀, x ₁,..., x_n и соответствующих значений функции f (x ₀) = y ₀, f (x ₁) = y ₁,..., f (x_n) = y_n интерполяционная формула Лагранжа имеет вид

 

,

 

где х - значение аргумента функции, расположенного в интервале [ x ₀, x_n ].

Необходимо отметить, что формула Лагранжа, в отличие от других интерполяционных формул, содержит явно y_i (i = ), что бывает иногда важно.

Пример 1. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной следующей таблицей.

 

x 0 = 0,	x 1 = 1,	x 2 = 2,	x 3 = 5,
y 0 = 2,	y 1 = 3,	y 2 = 12,	y 3 = 147.

 

Для случая четырех узлов интерполяции (n = 3) многочлен Лагранжа представляется следующим образом:

 

Заменив переменные x_i, y_i (i = )их числовыми значениями, получим интерполяционный многочлен

 

Интерполирование по формуле Лагранжа связано с большим объемом вычислений, значительная часть которых повторяется при получении нескольких значений P_n (x) для одной функции f (x). В том случае, когда формула Лагранжа используется для многократного получения значений одной функции при различных значениях аргумента, можно значительно уменьшить объем вычислений. Для этого формула Лагранжа представляется в виде

где - лагранжевы коэффициенты, определяемые как

 

Вычисление лагранжевых коэффициентов выполняется по следующей схеме, удобной при использовании ЭВМ. Составляется таблица разностей:

 

 

Произведение элементов i -й строки обозначается через K_i. Отсюда лагранжевы коэффициенты вычисляются по формуле

 

где П _{n +1}(x) = (x - x ₀)(x - x ₁)…(x - x_n) - произведение элементов главной диагонали таблицы (эти элементы подчеркнуты). Тогда формула Лагранжапринимает вид:

 

 

Использование формулы (2) позволяет сократить значительную часть вычислений по определению лагранжевых коэффициентов L_i ⁽ⁿ⁾(x) при различных значениях аргумента. Для этого произведение элементов i -й строки таблицы разностей представляется как K_i = (x – x_i) D_i, где D_i - произведение всех элементов строки, кроме расположенного на главной диагонали. Величина D_i (i= )не зависит от значения аргумента x и может быть вычислена для заданной функции только один раз.