Вопрос 9. Численное интегрирование. Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций, формула Симпсона.

Задача численного интегрирования состоит в замене исходной подынтегральной функции f(x), для которой трудно или невозможно записать первообразную в аналитике, некоторой аппроксимирующей функцией φ(x). Такой функцией обычно является полином (кусочный полином) . То есть:

,

где – априорная погрешность метода на интервале интегрирования, а r(x) – априорная погрешность метода на отдельном шаге интегрирования.

Заменяя подынтегральную формулу каким-либо интерполяционным многочленом, мы получаем квадратурные формулы вида:

,

где x_k - выбранные узлы интерполяции, A_k - коэффициенты, зависящие только от выбора узлов, но не от вида функций (k = 0,1,..., n), R - остаточный член, или погрешность квадратурной формулы. Отбрасывая остаточный член R, мы совершаем погрешность усечения. При расчете к ней добавляются различные погрешности округления.

Разобьём отрезок интегрирования [ a, b ] на n равных частей системой точек , и вычислим подынтегральную функцию в полученных узлах

y_i = f (x_i)(i = 0,1,..., n).

Квадратурные формулы для равноотстоящих узлов называются формулами Ньютона-Котеса. Формулы Ньютона-Котеса различаются степенями использованных интерполяционных многочленов. Чтобы не иметь дело с многочленами высоких степеней, обычно разбивают промежуток интегрирования на отдельные участки, применяют формулы Ньютона-Котеса с невысокими степенями на каждом участке и потом складывают полученные результаты.

Метод прямоугольников.

Различают метод левых, правых и средних прямоугольников. Суть метода ясна из рисунка. На каждом шаге интегрирования функция аппроксимируется полиномом нулевой степени – отрезком, параллельным оси абсцисс.

Выведем формулу метода прямоугольников из анализа разложения функции f(x) в ряд Тейлора вблизи некоторой точки x = x_i.

…

Рассмотрим диапазон интегрирования от x_i до x_i+h, где h – шаг интегрирования.

Вычислим …=

= = . Получили формулу правых (или левых) прямоугольников и априорную оценку погрешности r на отдельном шаге интегрирования. Основной критерий, по которому судят о точности алгоритма – степень при величине шага в формуле априорной оценки погрешности.

В случае равного шага h на всем диапазоне интегрирования общая формула имеет вид

.

Здесь n – число разбиений интервала интегрирования, .

Для справедливости существования этой оценки необходимо существование непрерывной f'(x).

Метод средних прямоугольников. Здесь на каждом интервале значение функции считается в точке , то есть . Разложение функции в ряд Тейлора показывает, что в случае средних прямоугольников точность метода существенно выше:

.

Метод трапеций.

Аппроксимация в этом методе осуществляется полиномом первой степени. Суть метода ясна из рисунка.

На единичном интервале

.

 

В случае равномерной сетки (h = const)

При этом , а . Погрешность метода трапеций в два раза выше, чем у метода средних прямоугольников! Однако на практике найти среднее значение на элементарном интервале можно только у функций, заданных аналитически (а не таблично), поэтому использовать метод средних прямоугольников удается далеко не всегда. В силу разных знаков погрешности в формулах трапеций и средних прямоугольников истинное значение интеграла обычно лежит между двумя этими оценками.

Метод Симпсона.

Подынтегральная функция f(x) заменяется интерполяционным полиномом второй степени P(x) – параболой, проходящей через три узла, например, как показано на рисунке ((1) – функция, (2) ­– полином).

Рассмотрим два шага интегрирования (h = const = x_i+1 – x_i), то есть три узла x₀, x₁, x₂, через которые проведем параболу, воспользовавшись уравнением Ньютона:

 

.

 

Пусть z = x - x₀, тогда

 

Теперь, воспользовавшись полученным соотношением, сосчитаем интеграл по данному интервалу:

 

.

В итоге

.Для равномерной сетки и четного числа шагов n формула Симпсона принимает вид:

Здесь , а в предположении непрерывности четвертой производной подынтегральной функции.

вид .

Формула Симпсона является точной для многочленов до третьей степени включительно. Заметим, что в формуле Симпсона числов узлов обязательно нечетное, то есть n четное, n = 2 m.