Абсолютная и относительная погрешности

Пусть имеется некоторая числовая величина, и числовое значение, которое ей присвоено , считается точным, тогда под погрешностью приближенного значения числовой величины (ошибкой) понимают разность между точным и приближенным значением числовой величины:

Погрешность может принимать как положительное так и отрицательное значение. Величина называется известным приближением к точному значению числовой величины - любое число, которое используется вместо точного значения. Простейшей количественной мерой ошибки является абсолютная погрешность.

Абсолютной погрешностью приближенного значения называют величину , про которую известно, что:

Качество приближения существенным образом зависит от принятых единиц измерения и масштабов величин, поэтому целесообразно соотнести погрешность величины и ее значение, для чего вводится понятие относительной погрешности.

Относительной погрешностью приближенного значения называют величину , про которую известно, что:

.

Относительную погрешность часто выражают в процентах. Использование относительных погрешностей удобно, в частности, тем, что они не зависят от масштабов величин и единиц измерения.

Так как точное значение обычно неизвестно, то непосредственное вычисление величин абсолютной и относительной погрешностей по предложенным формулам невозможно. Более реальная и часто поддающаяся решению задача состоит в получении оценок погрешности вида:

(*)

где и — известные величины, которые называют верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.

Если величина известна, то неравенство (*) будет выполнено, если положить

Точно так же если величина известна, то следует положить:

Но поскольку точное значение неизвестно, на практике используют приближенные равенства вида:

В литературе по методам вычислений широко используется термин "точность". Точное значение величины — это значение, не содержащее погрешности. Повышение точности воспринимается как уменьшение погрешности. Часто используемая фраза "требуется найти решение с заданной точностью " означает, что ставится задача о нахождении приближенного решения, принятая мера погрешности которого не превышает заданной величины . Вообще говоря, следовало бы говорить об абсолютной точности и относительной точности, но часто этого не делают, считая, что из контекста ясно, как измеряется величина погрешности.

Погрешности основных арифметических операций

Правило 1: Пусть и — приближенные значения чисел и , тогда абсолютная погрешность алгебраической суммы (суммы или разности) не превосходит суммы абсолютных погрешностей слагаемых, т.е.[1]:

Правило 2: Пусть и — ненулевые числа одного знака, тогда:

1. ; 2. .

Здесь , а [1].

Первое из равенств означает, что при суммировании чисел одного знака не происходит потери точности, если оценивать точность в относительных единицах. Совсем иначе обстоит дело при вычитании чисел одного знака. Здесь граница относительной ошибки возрастает в раз и возможна существенная потеря точности. Если числа и близки настолько, что ,то и не исключена полная или почти полная потеря точности. Когда это происходит, говорят о катастрофической потери точности.

При построении численного метода решения задачи следует избегать вычитания близких чисел одного знака. Если же такое вычитание неизбежно, то следует вычислять аргументы с повышенной точностью, учитывая ее потерю примерно раз.

Правило 3: Для относительных погрешностей произведения и частного приближенных чисел верны оценки:

1. ; 2. ;

в последней из которых [1].

Приведенные равенства чаще всего используют для практической оценки погрешности.

Выполнение арифметических операций над приближенными числами, как правило, сопровождается потерей точности. Единственная операция, при которой потеря не происходит, — это сложение чисел одного знака. Наибольшая потеря точности может произойти при вычитании близких чисел одного знака.