Методы нормирования погрешности. Класс

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МЕТРОЛОГИЯ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ

И СЕРТИФИКАЦИЯ

Методические указания к выполнению расчетно-графических работ

 

Йошкар-Ола

МАРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

УДК 389 (076)

ББК 30.10

М 54

 

 

Рецензент: канд.техн.наук, доцент МарГТУ В.В.Кошкин.

Печатается по решению редакционно-издательского совета МарГТУ.

 

 

М 54 Метрология, стандартизация и сертификация: методические

указания к выполнению расчетно-графических работ. / Сост.

Н.Г. Моисеев. – Йошкар-Ола: Марийский государственный

технический университет, 2007. – 78 с.

 

Представлены классификация и описание погрешностей результатов и средств измерений, расчет погрешностей результатов прямых, однократных, многократных, косвенных измерений. Даны задания для выполнения расчетно-графических работ.

Для студентов специальностей 230100.62, 230101, 230105 направления «Информатика и вычислительная техника»

 

 

УДК 389(076)

ББК 30.10

© Марийский государственный

технический университет, 2007

ВВЕДЕНИЕ

 

 

Измерения с целью определения значений физических величин (массы, длины, скорости и др.) являются главным источником информации во всех сферах деятельности человека. Но из-за несовершенства методов и средств измерений, влияния внешних воздействующих факторов (температуры окружающей среды, ее давления и влажности, вибрации, ускорения, излучений и др.), человеческого фактора истинные значения этих величин получить нельзя. Значения физических величин, полученные измерением, лишь в большей или меньшей степени приближаются к ним.

Отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины называется погрешностью измерения.

Так как истинные значения величины установить нельзя, то нужно хотя бы определить границы, в пределах которых оно может находиться с заранее заданной вероятностью.

Освоение теоретических положений и решение заданий, представленных в данном методическом пособии, позволит приобрести навыки по определению доверительных или предельных границ истинного значения измеряемой величины – погрешности измерения. Способы определения погрешностей при различных видах измерения будут разными. В свою очередь, погрешности средств измерений в нормативно-технической документации могут быть представлены по-разному: метрологическими характеристиками или классом точности.

Специалист в любой сфере деятельности должен уметь грамотно определять погрешность результатов различных видов измерений, различных измерительных каналов независимо от того, каким способом представлены пределы допускаемых погрешностей средств измерений.

Методические указания предназначены для выполнения расчетно-графических работ.

 

 

МЕТОДЫ НОРМИРОВАНИЯ ПОГРЕШНОСТИ. КЛАСС

ТОЧНОСТИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ

 

Различные СИ обладают погрешностями, характер проявления которых может быть различным: у одних погрешность аддитивная, у других мультипликативная или нелинейная, а у третьих могут сочетаться все указанные погрешности. Кроме того, у каждого СИ могут наблюдаться случайные и систематические погрешности.

Для того чтобы ориентироваться в метрологических свойствах конкретного СИ пользуются так называемыми нормированными значениями погрешности.

Под нормированным значением погрешности понимается погрешность, являющаяся предельной для данного типа СИ.

При этом как систематическая, так и случайная составляющая погрешности отдельных экземпляров СИ одного и того же типа могут различаться, но в целом для этого типа СИ погрешности не превосходят гарантированного значения. Так нормируются основная и дополнительная погрешности. Именно границы основной погрешности, а также коэффициентов влияния и заносятся в паспорт каждого экземпляра СИ.

Вся процедура нормирования СИ основывается на системе стандартов, обеспечивающих единство измерений.

Класс точности – это обобщенная метрологическая характеристика СИ, определяемая пределами основной и дополнительной погрешностей.

. Классы точности условными обозначениями наносятся на циферблаты, щитки, корпуса СИ, а также указываются в НТД.

В связи с большим разнообразием как самих СИ, так и их метрологических характеристик, ГОСТ 8.401-80 устанавливает несколько способов назначения классов точности. При этом в основу заложены следующие положения:

- в качестве норм служат пределы допускаемых погрешностей, включающие систематические и случайные составляющие;

- основная и все виды дополнительных относительных погрешностей нормируются порознь.

Первое положение свидетельствует о необходимости разрабатывать СИ с учетом однократного отсчета показаний по величине общей погрешности.

Второе положение требует обеспечения максимальной однородности однотипных СИ.

Например, можно обеспечить за счет любого . Однако, замена одного СИ другим не всегда будет эквивалентной, поскольку одно СИ может иметь большую температурную погрешность, другое частотную, что при конкретном измерении неизвестно.

Определяя класс точности, нормируют, прежде всего, пределы допускаемой основной погрешности . Пределы допускаемой дополнительной погрешности устанавливают в виде дольного (кратного) значения .

Классы точности присваиваются СИ при их разработке по результатам государственных приемочных испытаний.

Пределы допускаемой основной и дополнительной погрешностей выражают в форме абсолютной, относительной или приведенной погрешности.

Если погрешность результатов измерений в данной области принято выражать в единицах измеряемой величины или в делениях шкалы (например, погрешности мер массы или длины), то принимается форма абсолютных погрешностей.

Если границы абсолютных погрешностей в пределах диапазона измерений практически постоянны, то принимается форма приведенной погрешности, а если эти границы нельзя считать постоянными, то форма относительной погрешности.

Поэтому ГОСТ 8.401-80 в качестве основных устанавливает три вида классов точности СИ.

1. Для пределов допускаемой абсолютной погрешности в единицах измеряемой величины или делениях шкалы.

2. Для пределов допускаемой относительной погрешности в виде ряда чисел

, (1.1)

 

где А = 1; 1,5; (1,6); 2; 2,5; (3); 4; 5; 6, значения 1,6 и 3 допускаемые, но не рекомендуемые;

n = 1; 0; -1; -2;…

3.Для пределов допускаемой приведенной погрешности с тем же рядом (1.1)

.

Абсолютная погрешность может выражаться одним числом при неизменных границах, двучленом – при линейном изменении границ абсолютной погрешности, то есть при совместном проявлении аддитивной и мультипликативной составляющих или в виде графика функции, таблицы при нелинейном изменении границ (например, табл. 1.1).

Таблица 1.1.

Решение.

1. Для СИ класса точности 0,02/0,01.

По таблице 1.2 видим, что такое обозначение используется для СИ с установленной относительной погрешностью, при этом она рассчитывается по формуле (1.3), которая имеет вид

,

отсюда, учитывая, что дается в процентах, получим выражение для расчета абсолютной погрешности.

 

.

Из задания = 25А, =50А, = 0,02, = 0,01, подставляя эти значения, получим

2. Для СИ с обозначением класса точности.

В этом случае из той же таблицы 1.2 имеем формулу (1.2) для расчета относительной погрешности

 

откуда

 

Таблица 1.2

КАК СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Присутствие случайных погрешностей в результатах измерения приводит к тому, что результат измерения является случайной величиной. Поэтому прежде, чем приступить к расчету случайных погрешностей, необходимо ознакомиться с вероятностным описанием случайных величин.

Основные понятия.

 

Случайная величина (СВ) – величина, которая в результате

измерения (опыта) может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Дискретная СВ – СВ, принимающая только отделенные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить.

Например, количество попаданий при 3-х выстрелах, которое может быть равным 0, 1, 2, 3. Их можно заранее перечислить.

Непрерывная СВ – СВ, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал.

Например, координаты попадания пули в мишень.

Случайное событие – событие, которое в результате опыта(измерения, испытания) может произойти или не произойти.

Вероятность события - определенное число, отражающее степень объективной возможности этого события.

Статистическая совокупность – множество значений СВ, полученное в результате измерений.

Генеральная совокупность – статистическая совокупность, содержащая в себе все возможные значения СВ.

Выборка – совокупность, содержащая часть значений СВ, принадлежащих генеральной совокупности.

 

Законы распределения

Законом распределения СВ называется любое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ (Х) и соответствующими вероятностями их появления.

Эта связь может задаваться таблицей, графиком или функциональной зависимостью.

Из теории вероятностей известно, что наиболее универсальным способом описания СВ является отыскание их интегральных или дифференциальных функций распределения.

Интегральной функцией распределения СВ F(x) (или просто функцией распределения СВ) называется функция, каждое значение которой для каждого является вероятностью события, заключающегося в том, что СВ Х в -ом опыте принимает значение меньше :

(2.1)

Она имеет следующие свойства.

1. Неотрицательна , при

2. .

3. Неубывающая на всей оси, то есть , если .

4. Вероятность нахождения СВ в диапазоне от до

 

(2.2)

 

Для иллюстрации этих свойств на рис.2.1,а) показан график интегральной функции распределения нормального (Гауссова) закона.

Более наглядным является описание свойств результатов измерений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения , иначе называемой функцией распределения плотности вероятностей (рис.2.1,б).

 

(2.3)

 

Функция распределения плотности вероятностей обладает следующими свойствами

1. Неотрицательна, то есть при .

2. Нормирована .

Вероятность того, что непрерывная СВ примет некоторое значение из интервала (, ) может быть вычислена по одной из двух формул: уже упомянутой (2.2) и

 

(2.4)

Выясним размерности рассмотренных функций. Функция распределения – это вероятность, а поэтому является безразмерной величиной.

Функция распределения плотности вероятностей имеет размерность обратную размерности СВ.

Из уравнения (2.3) следует, что вероятность попадания СВ в заданный интервал (, ) равна площади, заключенной под кривой между абсциссами и (рис.2.1,б). Уже по форме кривой можно судить о том какие значения СВ наиболее вероятны, а какие менее.

Выясним размерности рассмотренных функций. Функция распределения – это вероятность, а поэтому является безразмерной величиной.

Функция распределения плотности вероятностей имеет размерность обратную размерности СВ.

 

 

 

Числовые характеристики СВ

 

Функции распределения СВ являются самым универсальным способом их описания. Однако, для их определения часто необходимы длительные, объемные и кропотливые исследования и вычисления.

Часто бывает достаточно охарактеризовать СВ с помощью числовых характеристик (параметров законов распределения), которые называются моментами различных порядков.

Моменты без исключения систематической составляющей называются начальными, а с исключением систематической составляющей (центрированные СВ) центральными.

То есть, если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, то моменты называются начальными, а если от центра распределения, то центральными.

СВ называется центрированной, если математическое ожидание (эту величину рассмотрим ниже).

Начальные моменты еще называют характеристиками положения, таккак они характеризуют форму кривой функции плотности вероятности (математическое ожидание, мода, медиана и др.), а центральные моменты к характеристикам рассеивания (дисперсия, среднеквадратическое отклонение и др.).

 

Характеристики положения

 

Как уже упоминалось к этим характеристикам относятся начальные моменты.

Начальным моментом -го порядка () распределения СВ называется действительное число

 

- для дискретных СВ

(2.5)

- для непрерывных СВ

Начальный момент 1-го порядка называется средним арифметическим (для дискретной СВ) или математическим ожиданием (для непрерывной СВ). Обычно обозначается , . Будем использовать обозначение .

Нулевой начальный момент равен единице и не имеет своего отдельного названия. Он используется для задания условий нормирования функции распределения плотности вероятностей (см. выше).

К характеристикам положения относится и понятие центра распределения. Координата центра распределения показывает положение СВ на числовой оси и может быть найдена несколькими способами.

Наиболее фундаментальным является центр симметрии, то есть такая точка на оси , слева и справа от которой вероятности появления различных значений СВ одинаковы и равны 0,5.

(2.5)

Точку называют медианой или 50% - ной квантилью.

Квантилью порядка р (р – процентной квантилью) распределения непрерывной СВ называется действительное число , удовлетворяющее условию

 

. (2.6)

 

Например, на рис.2.1.б – это выраженная в процентах площадь фигуры, ограниченная сверху кривой снизу осью абсцисс и справа вертикальной линией с абсциссой , которая и является действительным числом или квантилью порядка р.

Величину можно определить из выражения

(2.7)

В частности, из определения медианы следует, что .

Можно определить центр распределения, как центр тяжести распределения, то есть такой точки , относительно которой опрокидывающий момент фигуры, огибающей которой является кривая , равен нулю.

(2.8)

 

Это выражение не что иное, как уже упоминавшийся начальный момент первого порядка или математическое ожидание. Необходимо отметить, что у некоторых распределений, например, распределения Коши, не существует математического ожидания, так как определяющий его интеграл расходится.

При симметричной кривой в качестве центра может использоваться абсцисса моды.

Модой непрерывно СВ называется действительное число , определяемое, как абсцисса точки максимума функции распределения плотности вероятности . Таким образом мода СВ есть ее наиболее вероятное значение.

Существуют распределения, у которых нет моды, например, равномерное. Распределения с одним максимумом называются одномодальными, с двумя – двухмодальными и т.д. Те из них, у которых в средней части расположен не максимум, а минимум, называются антимодальными.

Характеристики рассеивания

 

К этим характеристикам относятся центральные моменты.

Центральным моментом – го порядка распределения СВ называется число , определяемое по формуле

- для дискретных СВ

(2.9)

- для непрерывных СВ

Среди центральных моментов, большое значение имеет второй центральный момент, называемый дисперсий D

(2.10)

и являющийся числовой характеристикой рассевания (мерой рассевания) СВ относительно математического ожидания. Чаще в качестве меры рассеивания используют среднее квадратическое отклонение (СКО)

(2.11)

 

Оно имеет такую же размерность, как и математическое ожидание, то есть размерность СВ.

Для примера на рис. 2.2 показан вид нормального распределения при различных значениях СКО.

 

Заметим, что математическое ожидание и дисперсия являются наиболее часто применяемыми моментами, так как они определяют важные черты распределений: положение центра и степень разбросанности результатов относительно него.

Для более подробного описания распределений используются моменты более высоких порядков.

Третий центральный момент характеризует асимметрию, то есть скошенность распределения: например, когда один спад крутой, а другой пологий

(2.12)

Для симметричных относительно центра распределений он равен нулю. Третий момент имеет размерность куба СВ, поэтому для относительной характеристики асимметрии используют безразмерный коэффициент асимметрии, равный . Для нормального распределения коэффициент асимметрии равен нулю. Вид законов распределения при различных значениях коэффициента асимметрии показан на рис.2.3.

 

 

Четвертый центральный момент характеризует протяженность распределения, при этом выявляется плоско или островершинность распределения.

 

. (2.13)

 

Его относительное значение называется эксцессом распределения

(2.14)

и для разных законов может иметь значения от 1 (для дискретного двузначного) до ∞ (для распределения Коши).

Для островершинного треугольного распределения = 2,4, а для кругловершинного нормального = 3. На рис.2.4. показан вид дифференциальной функции распределения при различных значениях эксцесса.

Для удобства используют контрэксцесс, меняющийся для любых распределений от 0 до 1.

 

(2.15)

 

Для нормального закона = 0,577

 

 

 

Нормальное распределение

(распределение Гаусса)

Нормальное распределение, как и равномерное распределение, является разновидностью экспоненциальных. При этом нормальный закон распределения имеет наибольшее распространение, что объясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей, утверждающей, что распределение СВ (погрешностей) будет близко к нормальному всякий раз, когда результаты наблюдений являются суммой большого числа независимых факторов, каждый из которых

 

оказывает незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.

Для нецентрированных СВ это распределение является двухпараметрическим и имеет следующий вид

 

(2.27)

 

где – СКО; – математическое ожидание.

Вид нормального распределения был показан на рис.2.2.

При введении новой переменной из (2.27) получается нормированное нормальное распределение, интегральная и дифференциальная функции распределения которого соответственно равны

(2.28)

(2.29)

 

Нормирование приводит к переносу начала координат в центр распределения и выражению абсциссы в долях СКО. Значения функций (2.28) и (2.29) сведены в таблицы, которые можно найти в литературе по теории вероятностей.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом

(2.30)

 

называют функцией Лапласа. Для нее справедливы следующие равенства:

; ; ;

Функция Лапласа используется для определения значений интегральных функций нормальных распределений. Функция F(t) связана с функцией Лапласа формулой

 

(2.31)

 

Поскольку интеграл в (2.30) не выражается через элементарные функции, то значения функции Лапласа для различных значений t сведены в таблицу (см. табл. П 1).

 

Степенях свободы

 

Число n усредняемых отсчетов	Число υ степеней свободы	Эксцесс, ε	Контрэксцесс, к
		∞
			0,333
			0,408
			0,447
			0,500
∞	∞		0,577

 

Классический аппарат моментов для оценки ширины и формы распределений Стьюдента с малым числом степеней свободы оказывается неработоспособным и их ширина и форма могут быть оценены лишь с использованием доверительных оценок. Этим распределения Стьюдента резко отличаются от всех других рассмотренных ранее законов распределений.

По значимости эксцесса (от ε = 3 до ε = ∞) распределения Стьюдента с числом степеней свободы от υ = 4 до υ = ∞ совпадают с распределениями класса экспоненциальных с показателями степени от α = 0 до α = 2.

Разновидностью распределения Стьюдента является распределение Коши. Оно важно тем, что ему подчиняется распределение отношения двух нормально распределенных центрированных СВ. Распределение Коши – это предельное распределение семейства законов Стьюдента с минимально возможным числом степеней свободы υ = 1 (рис.2.7).

Свойства распределения Коши резко отличаются от свойств экспоненциальных распределений, а именно:

- дисперсия и СКО не существуют, так как определяющий их интеграл расходится. Они будут бесконечно увеличиваться при росте числа экспериментальных данных;

- оценка центра в виде среднего арифметического для распределения Коши неправомочна, так как ее рассеяние равно бесконечности;

- математическое ожидание не существует;

- для определения центра необходимо использовать медиану;

- эксцесс равен бесконечности, контрэксцесс равен нулю.

 

Значения критерия Шарлье

 

n
	1,3	1,65	1,96	2,13	2,24	2,32	2,58

 

Вариационный критерий Диксона Кд удобный и достаточно мощный (с малыми вероятностями ошибок). Применяется при числе наблюдений n < 30. При его применении полученные результаты наблюдений записывают в вариационный возрастающий ряд . Критерий Диксона определяется как Критическая область для этого критерия . Значения приведены в табл.3.3.

Пример 3.2. Было проведено пять измерений напряжения в электросети. Получены следующие результаты: 127,1; 127,2; 126,9; 127,6; 127,2. Результат 127,6В существенно (на первый взгляд) отличается от остальных. Проверить, не является ли он промахом.

Решение. Составим вариационный ряд из результатов измерений напряжения в электросети: 126,9; 127,1; 127,2; 127,2; 127,6.

Для крайнего члена этого ряда 127,6 критерий Диксона

 

Кд = (127,6 – 127,2) / (127,6 – 126,9) = 0,4 / 0,7 = 0,57

 

Как следует из табл.3.3 по этому критерию результат 127,6В может быть отброшен как промах лишь на уровне значимости q = 0,10.

Применение рассмотренных критериев требует осмотрительности и учета объективных условий измерения. Оператор должен исключить результат наблюдения с явной грубой погрешностью и выполнить новое измерение. Но нельзя просто отбрасывать более или менее резко отличающиеся от других результаты наблюдений. В сомнительных случаях лучше сделать дополнительные измерения (не взамен сомнительных, а кроме них) и затем использовать рассмотренные критерии.

Таблица 3.3

Значения критерия Диксона

 

n	при q, равном
0,10	0,05	0,02	0,01
	0,68	0,76	0,85	0,89
	0,48	0,56	0,64	0,70
	0,40	0,47	0,54	0,59
	0,35	0,41	0,48	0,53
	0,29	0,35	0,41	0,45
	0,28	0,33	0,39	0,43
	0,26	0,31	0,37	0,41
	0,26	0,30	0,36	0,39
	0,22	0,26	0,31	0,34

 

Суммирование погрешностей

 

Суммирование систематических погрешностей.

Неисключенная систематическая погрешность результата измерения включает составляющие, обусловленные методом, средствами измерений и другими источниками. Если случайные погрешности малы, то в качестве границ неисключенной систематической погрешности принимают пределы допускаемых основных и дополнительных погрешностей СИ.

При суммировании неисключенных систематических погрешностей их рассматривают как случайные величины с равномерным законом распределения.

1. Границы неисключенных систематических погрешностей результата измерения определяются по формуле

, (3.2)

где - граница i – й неисключенной систематической погрешности;

- число неисключенных систематических погрешностей;

- коэффициент, зависящий от числа слагаемых , их соотношения и доверительной вероятности Р.

2. При Р < 0,99 коэффициент k мало зависит от и может быть представлен усредненными значениями, приведенными в табл. 3.4. Их погрешность не превышает 10%.

 

Таблица 3.4

Косвенные измерения

При косвенных измерениях погрешность результата зависит от погрешности каждого из прямых измерений.

Результат косвенного измерения определяется расчетом по измеренным значениям и заранее известной функции

(3.15)

Так как каждое , где измерено с соответствующей погрешностью , то задача расчета погрешности результата косвенного измерения сводится к суммированию всех k погрешностей измерения . При этом доля отдельных погрешностей в результирующей погрешности может быть различной в зависимости от вида функции и соотношения между собой независимых переменных х_i.

Например, пусть , но и . В этом случае погрешность в 1%, допущенная при измерении внесет в результат Z относительную погрешность всего в 0,01%, но такая же погрешность в 1%, допущенная при измерении , практически полностью войдет в погрешность результата Z.

При функции вида независимо от соотношения между собой и , погрешность измерения полностью входит в погрешность , а погрешность измерения – только 1/5 своей частью и т.д.

Так как возможные функции и соотношения , могут быть самыми разнообразными, то для определения чувствительности погрешности к изменению погрешностей используют общий прием, заключающийся в определении частных производных функции. Выражение (3.15) с учетом погрешностей запишем в следующем виде

 

(3.16)

 

Разложим эту функцию в ряд Тейлора

 

Полагая, что погрешности второго порядка пренебрежимо малы, можем записать

Отсюда, так как , то

 

Полученные таким путем значения при данном сочетании можно рассматривать как веса, с которыми в суммарную абсолютную погрешность входят составляющие в виде абсолютных погрешностей измерения каждого из . Отсюда составляющая абсолютной погрешности , возникающая от абсолютной погрешности будет равна .

Аналогично этому, если известны среднеквадратичные отклонения (СКО) случайной абсолютной погрешности отдельных , то СКО результирующей абсолютной погрешности будет