Формулы вычисления погрешностей и обозначения классов точности

 

Наименование погрешности	Формула по тексту	Обозначение класса точности	Примеры пределов допускаемой погрешности	СИ, рекомендуемые к обозначению таким способом
В НТД	На СИ
Абсолютная		Класс точности N или класс точности III	N III		Меры То же
Относительная	(1.2)	Класс точности 1%			Мосты, счетчики, делители, измерительные трансформаторы
(1.3)	Класс точности 0,02/0,01	0,02/0,01		Цифровые СИ, магазины емкостей (сопротивлений)
(1.6)	Класс точности С или класс точности II	С   II		Цифровые частотомеры, мосты сопротивлений
Приведенная	(1.4)	Класс точности 1,5	1,5		Аналоговые СИ; если Хn – в единицах величины.
Класс точности 0,5	0,5	–длина шкалы или ее части,мм	Омметры; если Хn определяется длиной шкалы или ее части

3. Для СИ с обозначением класса точности 1.

Из таблицы 1.2 видно, что так обозначаются СИ с нормированной приведенной погрешностью по формуле (1.4)

 

откуда

в нашем случае равно 50А, тогда

Пример 1.2. Указатель амперметра с пределами измерений от -10 до 50 А класса точности 1,5 показывает 15А. В каких пределах будет находиться истинное значение силы тока?

Решение. Поскольку требуется определить пределы для истинного значения силы тока, то речь идет об абсолютной погрешности. Ее и надо определить.

При данном обозначении (см. выше) указана приведенная погрешность γ = 1,5%. Из формулы (1.4) имеем

 

 

Нормирующее значение будет равно верхнему пределу измерения = 50А. Получим Δ = ±1,5%·50А/100% = ±0,75А.

По правилам округления (см. раздел 2.1) Δ = ± 0,8А. При симметричном распределении погрешности измерения результат измерения можно записать I = 15±0,8А или в виде неравенства 14,2 ≤ I ≥ 15,8А.

Для СИ, имеющих шкалу с условным нулем (вне пределов измерений) устанавливают равным модулю разности пределов измерений. То есть если пределы измерений амперметра от 20А до 100А, то = 80А.

 

Пример 1.3. Термоэлектрический термометр класса точности 1 с пределами измерений 300÷1200^оС показывает 770 ^оС. Определить абсолютную и относительную погрешность измерения температуры.

Решение. В этом примере при заданном обозначении опять задана приведенная погрешность, рассчитываемая по формуле . Нормирующее значение = 1200 – 300 = 900 ^оС. Абсолютная погрешность Δ = ± 1·900/100 = ± 9 ^оС. При симметричном распределении результат измерения равен t = 770±9 ^оС.

Относительная погрешность в точке измерения будет равна = ±Δ/х = ±9/770·100% = ±1,17%.

Тот же результат получим и с использованием формулы (1.5) . Действительно = ±1·900/770 = ±1,17.

Если СИ имеет установленное в паспорте номинальное значение, то принимают равным этому значению. Например, у вольтметра с номиналом 50В, = 50В.

Пример 1.4. Цифровой частотомер класса точности С показал значение частоты равное 135 кГц. Определить абсолютную погрешность измерения.

Решение. Из таблицы 1.2 для СИ класса точности С относительная погрешность рассчитывается по формуле

 

δ (х) = ± [ 0,02/х + 0,5/100 + х/10⁶] · 100% =

=± [ 0,02/135 · 10³ + 0,005 + 135 · 10³/10⁶] · 100% = 14%

δ = ± Δ/х · 100%; Δ = ± х· δ/100% = ±135 · 10³ · 14/100 = ±18900Гц = ±18,9 кГц.

Отсюда результат измерения f = 135±18,9кГц ≈135±19кГц.

 

 

ВЕРОЯТНОСТНОЕ ОПИСАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ

КАК СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Присутствие случайных погрешностей в результатах измерения приводит к тому, что результат измерения является случайной величиной. Поэтому прежде, чем приступить к расчету случайных погрешностей, необходимо ознакомиться с вероятностным описанием случайных величин.

Основные понятия.

 

Случайная величина (СВ) – величина, которая в результате

измерения (опыта) может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Дискретная СВ – СВ, принимающая только отделенные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить.

Например, количество попаданий при 3-х выстрелах, которое может быть равным 0, 1, 2, 3. Их можно заранее перечислить.

Непрерывная СВ – СВ, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал.

Например, координаты попадания пули в мишень.

Случайное событие – событие, которое в результате опыта(измерения, испытания) может произойти или не произойти.

Вероятность события - определенное число, отражающее степень объективной возможности этого события.

Статистическая совокупность – множество значений СВ, полученное в результате измерений.

Генеральная совокупность – статистическая совокупность, содержащая в себе все возможные значения СВ.

Выборка – совокупность, содержащая часть значений СВ, принадлежащих генеральной совокупности.

 

Законы распределения

Законом распределения СВ называется любое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ (Х) и соответствующими вероятностями их появления.

Эта связь может задаваться таблицей, графиком или функциональной зависимостью.

Из теории вероятностей известно, что наиболее универсальным способом описания СВ является отыскание их интегральных или дифференциальных функций распределения.

Интегральной функцией распределения СВ F(x) (или просто функцией распределения СВ) называется функция, каждое значение которой для каждого является вероятностью события, заключающегося в том, что СВ Х в -ом опыте принимает значение меньше :

(2.1)

Она имеет следующие свойства.

1. Неотрицательна , при

2. .

3. Неубывающая на всей оси, то есть , если .

4. Вероятность нахождения СВ в диапазоне от до

 

(2.2)

 

Для иллюстрации этих свойств на рис.2.1,а) показан график интегральной функции распределения нормального (Гауссова) закона.

Более наглядным является описание свойств результатов измерений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения , иначе называемой функцией распределения плотности вероятностей (рис.2.1,б).

 

(2.3)

 

Функция распределения плотности вероятностей обладает следующими свойствами

1. Неотрицательна, то есть при .

2. Нормирована .

Вероятность того, что непрерывная СВ примет некоторое значение из интервала (, ) может быть вычислена по одной из двух формул: уже упомянутой (2.2) и

 

(2.4)

Выясним размерности рассмотренных функций. Функция распределения – это вероятность, а поэтому является безразмерной величиной.

Функция распределения плотности вероятностей имеет размерность обратную размерности СВ.

Из уравнения (2.3) следует, что вероятность попадания СВ в заданный интервал (, ) равна площади, заключенной под кривой между абсциссами и (рис.2.1,б). Уже по форме кривой можно судить о том какие значения СВ наиболее вероятны, а какие менее.

Выясним размерности рассмотренных функций. Функция распределения – это вероятность, а поэтому является безразмерной величиной.

Функция распределения плотности вероятностей имеет размерность обратную размерности СВ.

 

 

 

Числовые характеристики СВ

 

Функции распределения СВ являются самым универсальным способом их описания. Однако, для их определения часто необходимы длительные, объемные и кропотливые исследования и вычисления.

Часто бывает достаточно охарактеризовать СВ с помощью числовых характеристик (параметров законов распределения), которые называются моментами различных порядков.

Моменты без исключения систематической составляющей называются начальными, а с исключением систематической составляющей (центрированные СВ) центральными.

То есть, если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, то моменты называются начальными, а если от центра распределения, то центральными.

СВ называется центрированной, если математическое ожидание (эту величину рассмотрим ниже).

Начальные моменты еще называют характеристиками положения, таккак они характеризуют форму кривой функции плотности вероятности (математическое ожидание, мода, медиана и др.), а центральные моменты к характеристикам рассеивания (дисперсия, среднеквадратическое отклонение и др.).

 

Характеристики положения

 

Как уже упоминалось к этим характеристикам относятся начальные моменты.

Начальным моментом -го порядка () распределения СВ называется действительное число

 

- для дискретных СВ

(2.5)

- для непрерывных СВ

Начальный момент 1-го порядка называется средним арифметическим (для дискретной СВ) или математическим ожиданием (для непрерывной СВ). Обычно обозначается , . Будем использовать обозначение .

Нулевой начальный момент равен единице и не имеет своего отдельного названия. Он используется для задания условий нормирования функции распределения плотности вероятностей (см. выше).

К характеристикам положения относится и понятие центра распределения. Координата центра распределения показывает положение СВ на числовой оси и может быть найдена несколькими способами.

Наиболее фундаментальным является центр симметрии, то есть такая точка на оси , слева и справа от которой вероятности появления различных значений СВ одинаковы и равны 0,5.

(2.5)

Точку называют медианой или 50% - ной квантилью.

Квантилью порядка р (р – процентной квантилью) распределения непрерывной СВ называется действительное число , удовлетворяющее условию

 

. (2.6)

 

Например, на рис.2.1.б – это выраженная в процентах площадь фигуры, ограниченная сверху кривой снизу осью абсцисс и справа вертикальной линией с абсциссой , которая и является действительным числом или квантилью порядка р.

Величину можно определить из выражения

(2.7)

В частности, из определения медианы следует, что .

Можно определить центр распределения, как центр тяжести распределения, то есть такой точки , относительно которой опрокидывающий момент фигуры, огибающей которой является кривая , равен нулю.

(2.8)

 

Это выражение не что иное, как уже упоминавшийся начальный момент первого порядка или математическое ожидание. Необходимо отметить, что у некоторых распределений, например, распределения Коши, не существует математического ожидания, так как определяющий его интеграл расходится.

При симметричной кривой в качестве центра может использоваться абсцисса моды.

Модой непрерывно СВ называется действительное число , определяемое, как абсцисса точки максимума функции распределения плотности вероятности . Таким образом мода СВ есть ее наиболее вероятное значение.

Существуют распределения, у которых нет моды, например, равномерное. Распределения с одним максимумом называются одномодальными, с двумя – двухмодальными и т.д. Те из них, у которых в средней части расположен не максимум, а минимум, называются антимодальными.

Характеристики рассеивания

 

К этим характеристикам относятся центральные моменты.

Центральным моментом – го порядка распределения СВ называется число , определяемое по формуле

- для дискретных СВ

(2.9)

- для непрерывных СВ

Среди центральных моментов, большое значение имеет второй центральный момент, называемый дисперсий D

(2.10)

и являющийся числовой характеристикой рассевания (мерой рассевания) СВ относительно математического ожидания. Чаще в качестве меры рассеивания используют среднее квадратическое отклонение (СКО)

(2.11)

 

Оно имеет такую же размерность, как и математическое ожидание, то есть размерность СВ.

Для примера на рис. 2.2 показан вид нормального распределения при различных значениях СКО.

 

Заметим, что математическое ожидание и дисперсия являются наиболее часто применяемыми моментами, так как они определяют важные черты распределений: положение центра и степень разбросанности результатов относительно него.

Для более подробного описания распределений используются моменты более высоких порядков.

Третий центральный момент характеризует асимметрию, то есть скошенность распределения: например, когда один спад крутой, а другой пологий

(2.12)

Для симметричных относительно центра распределений он равен нулю. Третий момент имеет размерность куба СВ, поэтому для относительной характеристики асимметрии используют безразмерный коэффициент асимметрии, равный . Для нормального распределения коэффициент асимметрии равен нулю. Вид законов распределения при различных значениях коэффициента асимметрии показан на рис.2.3.

 

 

Четвертый центральный момент характеризует протяженность распределения, при этом выявляется плоско или островершинность распределения.

 

. (2.13)

 

Его относительное значение называется эксцессом распределения

(2.14)

и для разных законов может иметь значения от 1 (для дискретного двузначного) до ∞ (для распределения Коши).

Для островершинного треугольного распределения = 2,4, а для кругловершинного нормального = 3. На рис.2.4. показан вид дифференциальной функции распределения при различных значениях эксцесса.

Для удобства используют контрэксцесс, меняющийся для любых распределений от 0 до 1.

 

(2.15)

 

Для нормального закона = 0,577