СИ с мультипликативной погрешностью

Эта погрешность связана со случайными изменениями наклона функции преобразования. В этом случае сигнал на выходе СИ имеет вид: , где - относительная мультипликативная погрешность.

Найдём ширину полосы неопределённости в этом случае. При фиксированном значении выходного сигнала y, вследствие неопределенности D K значения K, это значение y реализуется при двух значениях х: и . Отсюда найдем , .

Тогда ширина полосы неопределенности .

Будем считать, что . Тогда , и относительная мультипликативная погрешность (см. рис.).

Относительная мультипликативная погрешность остаётся постоянной при любых x, но такой идеальный случай практически не осуществим, т.к. нет СИ без аддитивных погрешностей.

СИ с аддитивной и мультипликативной погрешностями

В этом случае выходной сигнал имеет вид: . Пусть, как и выше, относительная мультипликативная погрешность . Из рисунка видно, что границы полосы неопределенности задаются уравнениями

Ширина полосы неопределенности . Относительная погрешность данного СИ . Эту погрешность будем называть погрешностью вида III. Вид полос погрешности в данном случае имеет вид, показанный на втором рис.

В выше рассмотренных случаях речь шла об измерении малых величин и рассмотренные зависимости характерны для узкодиапазонных СИ.

При больших х _к оказывается, что погрешность может неограниченно расти, как и при . Поэтому точное измерение больших величин оказывается такой же трудной задачей, как и измерение малых величин.

 

Измерение больших величин

Что такое большие и малые измеряемые величины? Рассмотрим этот вопрос на примере измерения электрического сопротивления с помощью моста постоянного тока.

На рисунке ИР – индикатор равновесия, R ₀ – образцовое сопротивление, R ₁ и R ₂ сопротивления плеч реохорда, l ₁ и l ₂ – длины плеч реохорда.

Условие равновесия моста в данном случае имеет вид , откуда .(1). Очевидно, что , (2), причем l ₁+ l ₂= L =const. (3). Из (1) и (2) следует, что . Логарифмируя и дифференцируя это выражение, получим: , где — погрешность оценки сопротивления R _x, — погрешность образцового сопротивления R ₀, — погрешности измерения длины.

Из (3): , и (4), найдём: (5), – относительная погрешность измерения.

Очевидно , . Можно записать (5) в виде: . Учитывая, что L = l ₁+ l ₂, после простого преобразования, получим _.

Из (1) и (2) следует, что , из предыдущего выражения, получим

(6)

Из (6) следует, что как при R _x®0, так и при R _x®¥.

Учитывая, что резистор R ₀ образцовый, его погрешностью можно пренебречь. Тогда формула (6) запишется в виде (7)

Эта формула позволяет вычислить относительную погрешность измерений как больших, так и малых величин.

Найдём вид полосы неопределённости. Поскольку, с учетом знаков абсолютной погрешности, сигнал на выходе нашего СИ, приведенный к входу, , вид полосы неопределенности определяется следующими соотношениями: (8).

Поскольку абсолютная погрешность , из формулы(7), пренебрегая величиной , имеем . (9). Учитывая (8), найдем максимальный и минимальный сигналы на выходе: (10).

Функция – парабола, ветви которой обращены вверх. В свою очередь, (11).Функция – парабола с ветвями, обращенными вниз. На графике зависимости параметр d – ширина полосы неопределенности R _xмакс и R _xмин — максимальное и минимальное значения, которые еще могут быть измерены.

При R _x= R _xмакс и R _x= R _xмин погрешность D R _x=D R _{x max}= R _x, так что g_Rx=1 (или g_Rx=100%) и .

Ширина полосы неопределенности d определяется по формуле (12) Функция d (R _x) – парабола. Обозначим в формуле (7) , тогда . Проведем анализ этой формулы. Сначала найдем минимум функции , взяв производную по х. Найдем, что при х =1 . Найдем максимально и минимально возможные значения х. Они находятся там, где . Из этого равенства имеем . Обычно . Решая квадратное уравнение, получим .

Т.к. при a <<1, где , выполняется соотношение , получим: . Отсюда следует, что и , где и - погрешность реохорда. Отсюда легко найти минимальное и максимальное значения R _x, которые можно измерить с погрешностью £100%. Таким образом, значения следует отнести к большим значениям, а значения – к малым.

Значение – это нижний порог чувствительности данного СИ, значение – это верхний порог чувствительности СИ.

Обобщим полученные результаты. Пусть в формуле (7) – любая величина, подлежащая измерению. Будим считать, что:

— погрешность чувствительности,

– нижний порог чувствительности,

– верхний порог чувствительности,

– погрешность СИ.

Подставляя эти обозначения в формулу (7): , получим универсальную формулу для расчета статических погрешностей СИ:

, (13), где - абсолютная погрешность прибора (сдвиг нуля), - погрешность чувствительности (погрешность наклона функции преобразования) или мультипликативная погрешность.