Вычисление абсолютной ошибки при прямых измерениях

Как было сказано выше, в результате повторения n однородных измерений получается совокупность значений х₁,х₂,,…х_n (выборочная совокупность или выборка). Данные значения позволяют по формуле (1) получить среднее арифметическое измеряемой величины или выборочную среднюю. Можно ввести абсолютную ошибку каждого измерения, или отклонения, как и найти её среднее. Но среднее арифметическое этих ошибок при большом количестве измерений стремится к нулю. Во избежание этого вводится такая величина, как выборочное среднее квадратичное (или квадратическое) отклонение -корень квадратный из среднего арифметического квадратов отклонений от выборочного среднего наблюдаемых величин, равное

(4).

Если же число измерений меньше 30, то вводится исправленное среднее квадратичное отклонение

(5).

С учётом вышесказанного случайная абсолютная ошибка определяется из соотношения

(6),

где величина – называется коэффициентом Стьюдента. Для определения коэффициента Стьюдента необходимо указать величину доверительной вероятности γ и количество измерений п. Искомый коэффициент определяется из таблицы, приведенной ниже.

Таблица коэффициентов Стьюдента и Лапласа

=0,683	=0,955	=0,998
n	tγ,n	n	tγ,n	n	tγ,n
	2,0		12,7		63,7
	1,35		4,73		12,0
	1,22		3,35		6,98
	1,16		2,94		5,27
	1,13		2,70		4,6
	1,11		2,57		4,2
	1,09		2,48		3,92
	1,08		2,40		3,72
	1,07		2,35		3,48
	1.0		2.0		3.0

Таким образом, смысл понятий доверительный интервал и доверительная вероятность состоит в следующем: пусть = 0,955, тогда можно утверждать, что при достаточно большом количестве измерений в 95,5% случаев истинное значение измеряемой величины х заключено в интервале , и лишь в 4,5% случаев выходит за пределы указанного интервала_.

Чтобы окончательно установить границы доверительного интервала необходимо расширить его с учетом абсолютной систематической погрешности Δ x_сист. Для этого необходимо знать среднее квадратическое отклонение прибора , которое, как правило, можно найти в паспорте, а в простейших случаях - принять равным половине цены деления младшего разряда шкалы.

Тогда Δ x_сист определяется из соотношения

(7).

Здесь введен коэффициент – коэффициент Лапласа, который также определяется из приведенной таблицы при значении

Обычно (хотя, не очень строго) можно положить, что суммарная погрешность определяется как корень квадратный из суммы квадратов случайной и систематической погрешностей:

(8).

Для оценки величины абсолютной погрешности по отношению к самой измеряемой величине вводится относительная ошибка, равная

(9).

Вычисление абсолютной ошибки при косвенных измерениях

Пусть у – косвенно измеряемая величина является функцией нескольких переменных непосредственно измеряемых величин a,b,...c, т.е.

(10).

Среднее значение можно найти путём подстановки в формулу (10) в качестве аргументов усредненных значений непосредственно измеренных величин:

(11).

Тогда абсолютная погрешность Δ y определяется по формуле

(12),

где – частная производная функции у по переменной a. Частная производная ­– это производная, которая вычисляется от функции у по аргументу a, в предположении, что все остальные аргументы считаются постоянными. В этой формуле частные производные рассчитываются при подстановке в неё средних арифметических значений всех аргументов - полученных как результат прямых измерений, а - абсолютные ошибки этих же величин. Затем вычисляется относительная погрешность косвенно измеряемой величины

(13).

 

Статистическое распределение ошибок.

Распределение Гаусса

В курсе теории вероятностей и математической статистики показано, что случайные ошибки подчинены определённым закономерностям.

В частности, допустим, что сделано n повторных измерений одной и той же величины. Если они выполнены одним и тем же методом, в одинаковых условиях и с одинаковой степенью тщательности, то такие измерения называются равноточными. Пусть минимальный интервал значений измеряемой величины, через который ведутся отсчеты (цена деления прибора), будет h, а среднее арифметическое всех результатов измерений – . Обозначим через k_i число тех результатов, которые отклонились от среднего на величину Δ x = ih. Отложив по оси абсцисс величину абсолютных погрешностей Δ x, а по оси ординат значения k, получим ступенчатый график, называемый гистограммой, рис.1.

Если устремить число измерений к бесконечности, а интервал h –к нулю, то гистограмма переходит в пределе в непрерывную кривую, которая является кривой распределения погрешностей и называется графиком функции Гаусса. Несколько кривых Гаусса для разных значений параметра σ изображены на рис.2. Как видно из представленных графиков параметр σ определяет ширину распределения.

Распределение Гаусса ещё называют нормальным распределением, которое описывается формулой (14).

(14).

Следует отметить, что , где S_n – выборочное среднее квадратичное отклонение, определяемое соотношением (4). Квадрат параметра σ называется дисперсией и характеризует рассеяние измерений.

 

Подготовка и проведение измерений

Перед проведением измерений необходимо:

1) ознакомиться с принципом работы измерительного прибора, правилами его эксплуатации и диапазоном измеряемых величин;

2) установить класс точности прибора (приведенную погрешность) – это выраженная в процентах относительная погрешность при измерении им наибольшего значения измеряемой величины, указанной на шкале. Тогда абсолютная систематическая погрешность оказывается одинаковой на всей шкале прибора. Например, пусть имеется амперметр класса 1,5 со шкалой 20 А. При измерении им любого значения тока абсолютная систематическая погрешность будет равна 0,015· 20 = 0,3 А. Нетрудно видеть, что при измерениях в конце шкалы относительная погрешность оказывается меньше, приближаясь к приведенной. Класс точности обычно указывается на шкале прибора соответствующей цифрой. Если на шкале такого обозначения нет, то данный прибор внеклассный, и его приведенная погрешность более 4%;

3) в случае отсутствия класса точности среднее квадратичное отклонение прибора можно принять равным половине цены деления младшего разряда шкалы;

4) проверить установку нуля прибора.

При проведении измерений следует:

5)выполнить требуемое количество однородных измерений, что приведёт к формированию выборочной совокупности наблюдаемых величин х_1,х_2,…х_n;

6) результаты всех измерений (показания приборов) обязательно должны быть записаны в рабочем журнале без каких-либо пересчётов на множитель шкалы или систему единиц;

7) в рабочем журнале также необходимо записать множитель и цену деления шкалы прибора.