Абсолютна і відносна похибки

Лабораторна робота №1

 

Тема: Дії з наближеними величинами.

Мета: отримання практичних навичок роботи з наближеними величинами, рішення прямої і зворотної задач теорії наближених обчислень.

Ідея: систематизація правил і методів обчислювальної роботи над наближеними числами. Знати, в чому полягає основна задача теорії похибок і принцип рішення зворотної задачі теорії похибок.

 

Теоретичні відомості

 

Абсолютна і відносна похибки

Наближеним числом називається число, відмінне від точного і яке замінює останнє в обчисленнях.

Абсолютна похибка числа визначається:

(1.1)

де – точне значення числа;

– наближене значення числа .

Гранична абсолютна похибка наближеного числа – це додатне число, яке більше або дорівнює за модулем абсолютній похибці даного числа, тобто

(1.2)

Значення точного числа укладено в наступних межах:

або (1.3)

Якщо наближене число записано в десятковій системі счислення, то абсолютна похибка дорівнює одиниці останнього знаку, якщо число було отримано без округлення, і половині одиниці, якщо число було отримано з округленням. В даному випадку говорять відповідно про похибку в широкому і вузькому значенні.

Відносною похибкою даного наближеного числа називається відношення абсолютної похибки цього числа до модуля відповідного точного числа, тобто

(1.4)

Граничною відносною похибкою числа називається будь яке число, не менше відносної похибки цього числа.

(1.5)

і визначається виразом

(1.6)

Гранична відносна похибка часто виражається у відсотках

(1.7)

Приклад 1.1 Визначити граничну абсолютну похибку числа , що замінює число .

Рішення.

Оскільки має місце нерівність:

, то

Отже, можна прийняти

Якщо врахувати, що , то матимемо кращу оцінку:

 

Десятковий запис наближених чисел. Значуща цифра числа. Кількість вірних знаків

 

Будь яке десяткове наближення число а може бути наведено у вигляді

(1.8)

де – цифра числа, причому

– старший десятковий розряд числа .

Наприклад:

Значущою цифрою наближеного числа називається будь яка цифра в його десятковому зображенні, відмінна від нуля, і нуль, якщо він міститься між значущими цифрами або є представником збереженого десяткового розряду.

Наближене число а вигляду (1.8) містить n вірних значущих цифр у вузькому значенні, якщо абсолютна похибка цього числа не перевершує половини одиниці десяткового розряду, що виражається n -й значущою цифрою, рахуючи зліва направо, тобто якщо виконується нерівність

(1.9)

Наближене число а вигляду (1.8) містить n вірних значущих цифр в широкому значенні, якщо абсолютна похибка цього числа не перевершує одиниці десяткового розряду, виразимого n -ю значущою цифрою, якщо рахувати зліва направо, тобто якщо виконується нерівність

(1.10)

 

Приклад 1.2 Округлити число 1,2500 до двох значущих цифр.

Рішення.

Отримаємо наближене число 1,2 з абсолютною похибкою, що дорівнює

 

Зв'язок між кількістю вірних значущих цифр і похибкою числа

 

Якщо строгий підрахунок похибок не робиться, то можна приблизно оцінити за формулами

– у вузькому значенні (1.11)

– у широкому значенні. (1.12)

Приклад 1.3 Зі скількома десятковими знаками треба узяти , щоб відносна похибка була рівною 0,1%?

Рішення.

Оскільки перша цифра 4, то , та . Маємо , звідки і .

 

Пряма і зворотна задачі теорії похибок

Пряма задача теорії похибок

 

Необхідно обчислити похибки даної функції, якщо відомі похибки аргументів.

З теорії похибок відомо, якщо була задана функція, що диференціюється і дані – абсолютні похибки аргументів, то з урахуванням виразу (1.2), гранична абсолютна похибка функції:

(1.13)

де - граничні абсолютні похибки аргументів функції .

За граничну відносну похибка функції можна прийняти:

(1.14)

Приклад 1.4 Знайти граничні абсолютну і відносну похибки об'єму кулі , якщо діаметр см см, а

Рішення.

Розглядаючи і як змінні величини, обчислюємо частинні похідні

Гранична абсолютна похибка об'єму:

Тому

Звідки гранична відносна похибка об'єму

 

Таблиця 1.1 – Варіанти значень до завдання 1

№ з/п	Значення для завдання 1)	Для завдання 2)
а	б	а	б
	22.553 0.016	2,8546	0.2387	42.884
2.	17.2834	6.4257 0.0024	3.751	0.537
3.	34.834	0.5748 0.0034	11.445	2.043
4.	2.3485 0.0042	0.34484	2.3445	0.745
5.	5.435 0.0028	10.8441	8.345	0.288
6.	8.24163	0.12356 0.00036	12.45	3.4453
7.	2.4543 0.0032	24.5643	0.374	4.348
8.	23.574	8.3445 0.0022	20.43	0.576
9.	21.68563	3.7834 0.0041	41.72	0.678
10.	13.537 0.0026	7.521	5.634	0.0748
11.	0.3567	3.7834 0.0021	18.357	2.16
12.	1.784 0.0063	0.85637	0.5746	236.58
13.	3.6878 0.0013	15.873	14.862	8.73
14.	27.1548 0.0016	0.3945	0.3648	21.7
15.	0.8647 0.0013	24.3618	2.4516	0.863
16.	3.7542	0.98351 0.00042	62.74	0.389
17.	83.736	5.6483 0.0017	5.6432	0.00858
18.	2.8867	32.7486 0.0012	0.0384	63.745
19.	4.88445 0.00052	0.096835	12.688	4.636
20.	38.4258 0.0014	0.66385	6.743	0.543
21.	0.39642 0.00022	46.453	15.644	6.125
22.	5.8425	0.66385 0.00042	0.3825	24.6
23.	24.3872	0.75244 0.00013	16.383	5.734
24.	2.3684 0.0017	45.7832	0.573	3.6761
25.	72.354	0.38725 0.00112	18.275	0.00644
26.	0.36127	46.7843	3.425	7.38
27.	23.7564	4.57633	3.75	6.8343
28.	15.8372	0.088748	3.643	72.385
29.	3.87683	13.5726	26.3	4.8556
30.	0.66835	23.3748	43.813	0.645

Завдання 2

1) Обчислити і визначити похибку результату (табл. 1.2).

2) Визначити, з якою абсолютною похибкою необхідно брати параметри, щоб відносна похибка результату не перевищувала 5% (табл.3).

 

 

Таблиця 1.2 – Варіанти значень до завдання 2.1

 

№ з/п	Формула	Параметри
1.		3.85 0.01	2.0435 0.0004	962.6 0.1
2.	4.16 0.005	12.163 0.002	55.18 0.01
3.	7.27 0.01	5.205 0.002	87.32 0.03
4.		228.6 0.06	315.6 0.05	186.7 0.04
5.	86.4 0.02	72.5 0.03	66.6 0.02
6.	68.7 0.05	53.8 0.04	72.3 0.03
7.		3.845 0.004	16.2 0.05	10.8 0.1
8.	4.632 0.003	23.3 0.04	11.3 0.06
9.	7.312 0.004	18.4 0.03	20.2 0.08
10.		3.456 0.002	0.642 0.005	7.12 0.004
11.	1.245 0.001	0.121 0.0002	2.34 0.003
12.	0.327 0.005	3.147 0.0001	1.78 0.001
13.		0.643 0.0005	2.77 0.002	5.843 0.001
14.	0.142 0.0003	1.71 0.002	3.727 0.001
15.	0.258 0.0002	3.45 0.001	7.221 0.003
16.		0.3575 0.0002	2.63 0.01	0.854 0.0005
17.	0.1756 0.0001	3.71 0.03	0.285 0.0002
18.	0.2731 0.0003	5.12 0.02	0.374 0.0001
19.		1.6531 0.0003	3.78 0.002	0.158 0.0005
20.	2.348 0.002	4.37 0.004	0.235 0.0003
21.	3.804 0.103	4.05 0.003	0.318 0.0002
22.		0.7568 0.0002	21.7 0.02	2.65 0.01
23.	0.8345 0.00004	13.8 0.03	1.84 0.006
24.	0.6384 0.0002	32.7 0.04	4.88 0.03
25.	0.1456 0.0001	41.3 0.03	3.75 0.02
26.		54.8 0.02	2.45 0.01	0.863 0.004
27.	38.5 0.01	3.35 0.02	0.734 0.001
28.	17.3 0.03	5.73 0.01	0.956 0.004
29.		3.14	54 0.5	8.235 0.001
30.	3.14	72 0.3	3.274 0.002

 

Таблиця 3 – Варіанти значень до завдання 2.2

№	Формула	Параметри
1.		1.141	3.156	-
2.	2.34	4.518	-
3.	5.813	1.315	-
4.		8.53	6.271	12.48
5.	6.44	5.323	15.44
6.	9.05	3.244	20.18
7.		8.51	23.42	3.81
8.	5.71	32.17	2.42
9.	7.28	11.71	5.31
10.		21.1	22.08	31.11
11.	17.8	32.47	11.42
12.	32.5	27.51	21.78
13.		0.562	0.2518	0.68
14.	0.834	0.3523	0.74
15.	0.445	0.4834	0.87
16.		2.456	1.76	-
17.	7.751	3.35	-
18.	5.441	6.17	-
19.		2.435	0.15	1.27
20.	7.834	0.21	3.71
21.	4.539	0.34	5.93
22.		46.3	29.72	37.654
23.	10.5	34.18	27.327
24.	2.48	5.344	6.0218
25.	1.21	2.735	4.0113
26.		2.0435	4.2	0.82
27.	1.1753	5.8	0.65
28.	4.5681	6.3	0.42
29.		3.14	36.5	26.35
30.	3.14	41.4	31.75

 

 

Зміст звіту

 

У звіті з лабораторної роботи необхідно навести:

– розрахункові формули;

– розв’язок завдань за пунктом 1.2 методичних вказівок;

– формулювання правил додання, віднімання і добутку наближених чисел;

– аналіз отриманих результатів і висновки з роботи.

 

1.4 Контрольні питання.

 

1. Яке число називається наближеним?

2. Що називається похибкою наближеного числа?

3. Що таке абсолютна похибка?

4. Що таке гранична абсолютна похибка?

5. Що таке гранична відносна похибка?

6. Яка цифра наближеного числа називається вірною?

7. Як визначити абсолютну похибку наближеного числа по кількості його вірних цифр?

8. В чому полягає основна задача теорії похибок?

9. Чому дорівнюють гранична абсолютна і відносні похибки:

суми, різниці, добутку, частинної похідної, ступеню, кореня?

10. Сформулюйте зворотну задачу теорії похибок.

11. В чому полягає принцип рівних впливів?

 

Література

1. Демидович Б.П, Марон И.А. Основы вычислительной математики. 3-е изд., испр. – М.: Наука, 1966. – 664 стр.

2. Краскевич В.Е., Зеленский К.Х., Гречко В.И. Численные методы инженерных исследований. – Киев: Высшая шк., 1986. – 263 стр.

3. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование – М.: Высш. шк., 1990.-544 стр.

Лабораторна робота №2

Тема: Інтерполяція функцій. Інтерполяційні формули Ньютона. Інтерполяційна формула Лагранжа.

Мета: Скласти таблиці кінцевих різностей. Використовуючи інтерполяційну формулу, знайти значення функції в точці, що не є табличною, і оцінити похибку методу рішення; підібрати аналітичну формулу, що представляє з деякою точністю дані табличні значення функції. Вивчити метод побудови інтерполяційного полінома Лагранжа для довільно розташованих вузлів інтерполяції.

Ідея: Вміти правильно складати таблиці кінцевих різностей. Навчитись грамотно застосовувати інтерполяційні формули в залежності від значень аргументів і від величини , а також вміти оцінити похибку інтерполяційних формул Ньютона та Лагранжа. З’ясувати відмінність інтерполяційної формули Лагранжа від інтерполяційних формул Ньютона.

Теоретичні відомості

2.1.1 Кінцеві різниці n -х порядків

Таблиці кінцевих різностей

Розглянемо функцію .

Позначимо – фіксовану величину збільшення аргументу (крок).

Тоді вираз

(2.1)

називається першою кінцевою різницею функції . Аналогічно визначаються кінцеві різниці вищих порядків:

кінцеві різниці вищих порядків.

Часто доводиться розглядати функції , задані табличними значеннями .

Кінцеві різниці послідовності визначаються співвідношеннями:

Кінцеві різниці n -х порядків зручно розташовувати у формі таблиць: горизонтальної (табл. 2.1) і діагональної (табл. 2.2).

 

Таблиця 2.1 – Горизонтальна таблиця різностей

x	y

 

Таблиця 2.2 – Діагональна таблиця різностей

x	y

Формула Лагранжа

Розглянуті 1-а і 2-а інтерполяційні формули Ньютона придатні лише у випадку рівновіддалених вузлів інтерполяції. Для довільно заданих вузлів інтерполяції використовують інтерполяційну формулу Лагранжа.

Побудуємо спочатку поліном , що приймає у точці значення , а у решті точок значення

.

Аналогічно побудуємо поліном , що приймає у точці значення , а у решті точок – значення :

. (2.7)

І, нарешті, побудуємо поліном, що приймає в точках задані значення . Він буде дорівнювати сумі:

. (2.8)

Отримана формула (2.8) називається інтерполяційною формулою Лагранжа. Вона призначена для безпосередньої побудови інтерполяційного многочленна. Коефіцієнти в цій формулі називаються коефіцієнтами Лагранжа.

Для обчислення коефіцієнтів Лагранжа може бути використана наведена нижче схема Ейткена.

У таблиці розташовують таким чином:

………………………………………………………………

Позначимо добуток елементів першого рядка через , другого через і т.д. (), а добуток елементів головної діагоналі (елементи підкреслені) через . Звідки витікає, що

(2.9)

Отже,

Похибка розрахунку має наступний вид:

, (2.10)

де – значення інтерполяційного полінома Лагранжа у точці , – значення функції у точці .

Для покращення наближення інтерполяційного полінома до функції додаються нові вузли. При цьому у формулах Ньютона до полінома додаються тільки нові доданки. У формулі Лагранжа в аналогічному випадку всі доданки доводиться перераховувати заново, оскільки кожний член цієї формули залежить від всіх вузлів інтерполяції.

Всі інтерполяційні формули виходять з інтерполяційної формули Лагранжа при відповідному виборі вузлів.

Приклад 2.2. Для функції побудувати інтерполяційний поліном Лагранжа, вибравши вузли

, , .

Рішення.

Обчислюємо відповідні значення функції:

, , .

Застосовуючи формулу (2.8), отримаємо:

або

 

Зміст звіту

У звіті з лабораторної роботи необхідно навести:

- короткі теоретичні відомості;

- рішення завдань лабораторної роботи;

- аналіз результатів і висновки по лабораторній роботі.

2.4 Контрольні питання

1. Мета і постановка задачі інтерполяції функції.

2. В чому полягає і як розв’язується задача інтерполяції?

3. Як побудувати інтерполяційний многочлен за 1-ою і 2-ю формулами Ньютона?

4. Як побудувати інтерполяційний поліном за формулою Лагранжа?

5. Які особливості інтерполяційної формули Лагранжа?

6. Як розраховуються коефіцієнти полінома Лагранжа у випадку рівновіддалених вузлів інтерполяції?

7. Як обчислити похибку інтерполяції деякої функції поліномом Лагранжа?

Література

1. Демидович Б.П, Марон И.А. Основы вычислительной математики. 3-е изд., испр. – М.: Наука, 1966. – 664 стр.

2. Краскевич В.Е., Зеленский К.Х., Гречко В.И. Численные методы инженерных исследований. – Киев: Высшая шк., 1986. – 263 стр.

3. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование – М.: Высш. шк., 1990. – 544 стр.

 

 

Лабораторна робота №3

 

Тема: Чисельне інтегрування.

Мета: Отримати практичні навики розв’язку задач чисельного інтегрування.

Ідея: Навчитися складати квадратурні формули чисельного інтегрування. За допомогою різних формул обчислити інтеграл заданої функції та похибку. Порівняти між собою використані формули.

 

Загальні відомості

Постановка задачі

 

Дана неперервна функція . Розрахувати із заданою похибкою значення певного інтеграла від цієї функції на відрізку .

Якщо відома первісна заданої функції , то інтеграл від функції можна обчислити за формулою Ньютона-Лейбниця

(3.1)

В багатьох практичних випадках первісна функція не може бути знайдена за допомогою елементарних засобів чи є занадто складною; крім того, на практиці підінтегральна функція часто задається таблицею. В цих випадках застосовують методи наближеного обчислення інтегралів.

 

Методи розв’язку задачі

Звичайним прийомом чисельного обчислення інтеграла є заміна функції на відрізку , що розглядається, будь-яким інтерполяційним многочленом або апроксимуючою функцією простого виду. Функція має бути такою, щоби інтеграл обчислювався безпосередньо.

Замінюючи підінтегральну функцію будь-яким многочленом, отримуємо квадратурні формули типу

(3.2)

де – обрані вузли інтерполяції;

– коефіцієнти, що залежать від вибору вузлів, але не від виду функцій;

;

– залишковий член, який характеризує похибку квадратурної формули.

Кажуть, що, відкидаючи , ми допускаємо похибку усічення. Похибку будемо обчислювати за формулою

, (3.3)

де – значення інтегралу, обчисленого за допомогою формули наближеного інтегрування, – точне значення інтегралу. Точним значенням інтегралу від заданої функції будемо вважати значення отримане за форму