Відділення коренів. Теорема про оцінку помилки наближеного значення кореня

 

Корінь рівняння (4.1) вважається відділеним на відрізку , якщо і на цьому відрізку задане рівняння не має інших коренів. Щоб відокремити корені рівняння (4.1), варто розбити область визначення даного рівняння на відрізки, на кожнім з яких міститься один і тільки один корінь або немає жодного кореня. Відокремлюють корені графічним і аналітичним методами, а також методом послідовного перебору.

Для відділення коренів графічним методом будують графік функції і знаходять точки перетинання графіка з віссю абсцис і кінці відрізків ізольованого кореня.

Аналітичний метод відділення коренів ґрунтується на теоремах із курсу математичного аналізу. Сформулюємо їх.

 

Теорема 1 (теорема існування кореня). Якщо функція неперервна на і здобуває на кінцях цього відрізка значення протилежних знаків, тобто , то всередині відрізка існує хоча б один корінь рівняння .

Зауваження. Теорема не дає відповіді на питання про кількість коренів рівняння (4.1), що належать .

 

Теорема 2 (теорема існування й одиничності кореня). Якщо функція , неперервна і диференційована на , здобуває на кінцях цього відрізка значення протилежних знаків, а похідна не змінює знак посередині відрізка , то рівняння на цьому відрізку має корінь, до того ж один.

Відповідно до теорем 1 і 2 алгоритм відділення коренів рівняння (4.1) можна сформулювати так:

1. Знайти область визначення рівняння.

2. Знайти критичні точки функції .

3. Записати інтервали монотонності функції .

4. Визначити знак функції на кінцях інтервалів монотонності.

5. Визначити відрізки, на кінцях яких функція здобуває значення протилежних знаків.

6. Знайдені відрізки ізоляції коренів при необхідності звузити.

 

Уточнення кореня методом розподілу відрізка навпіл

 

Метод розподілу відрізка навпіл (або метод дихотомії) застосовується для уточнення кореня рівняння з наперед заданою точністю, якщо функція задовольняє умові теореми 2.

За початкове наближення вибираємо середину відрізка .

(4.2)

Проводимо дослідження значення функції на кінцях відрізків і . Корінь, який шукаємо, знаходиться в тім відрізку, на кінцях якого функція здобуває значення протилежних знаків. За нове наближення вибираємо середину нового відрізка.

Ітераційний процес продовжується поки не буде досягнуте виконання умов:

(4.3)

Приклад 4.1 Уточнити корінь рівняння

, який належить відрізку .

Рішення.

Послідовно маємо:

Можна прийняти

 

Метод ітерації

 

Нехай задане рівняння , де – неперервна функція. Щоб знайти дійсні корені цього рівняння, замінимо його рівнозначним:

. (4.4)

Тепер, щоб рішити рівняння (4.4) застосовують метод послідовних наближень (метод ітерації). Вибирають деяке початкове наближення і послідовно обчислюють наступні наближення:

, (4.5)

Збіжність послідовності забезпечується відповідним вибором функції і початкового наближення . Вибираючи по-різному функцію , можна скласти різні ітераційні методи рішення рівняння (4.4).

 

Рисунок 4.1 – Геометрична інтерпретація методу ітерації

а) ; б) ; в) ; г) .

 

Метод ітерації має простий геометричний зміст. Побудуємо графіки функцій та . Абсциса точки перетину графіків цих функцій є коренем рівняння (4.4) (рис. 4.1).

На відрізку довільно вибираємо точку і проводимо через неї пряму, рівнобіжну осі ординат до перетинання з кривою у точці . З точки проведемо пряму, рівнобіжну вісі абсцис, до перетинання з прямою . У результаті одержимо точку з ординатою . Спроектувавши точку на вісь , знаходимо абсцису . Аналогічно через проводимо пряму, рівнобіжну осі ординат, до перетинання з кривою у точці . З точки проводимо пряму, рівнобіжну вісі абсцис, до перетинання з прямою у точці , абсциса якої і т.д. У результаті спільні абсциси точок і , і є послідовними наближеннями до кореня .

Якщо , то послідовні наближення сходяться до кореня , якщо , те послідовні наближення віддаляються від нього.

Швидкість збіжності залежить також від вибору початкового наближення . Чим ближче до кореня обране , тим швидше буде знайдений результат.

Процес ітерацій можна закінчити, якщо буде виконана наступна нерівність

.